Luogu

洛谷比赛记录

• Diligent-OI Round 1

  • DlgtTemplate
    定义 \(f_{i, j}\) 为在编号为 \([i,n]\) 的格子中选出格子，需要把前面选择的 \(j\) 个元素删掉的方案的得分的最大值。转移方程式为 \(f_{i, j} \leftarrow \max(f_{i + 1, j - b_i} + a_i, f_{i, j})\)。

    设 \(p_i\) 表示 \([1, i]\) 中 \(b_i = 0\) 的个数。

    对于 \(f_{i, j}\)，仅当 \(p_{i - 1} \ge j\) 时能取到。否则要删去的数会大于 \(j\)。

    需要注意最左边的点可能逃过删除，枚举该点。

    时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n^2)\) 。代码

• [DHOI] Round 1

  • 西湖有雅座

    在不能放在一起的零件之间建边。检查是否是二分图。代码

  • 闪耀之塔

    发现

    \[\sum \limits_{i = 1}^{2^n - 1} f(i) = \sum \limits_{i = 1}^{2^n - 1} dep_i \times val_i \]

    容易得到结论：深度越深的节点权值应该越大。

    要求 \(f(p)\) 最大，显然以 \(p\) 为根的子树的节点的权值都应该尽可能大。

    因此对节点 \(u\)，其 \(val_{lson_u} = val_u \times 2,val_{rson_{u}} = val_u \times2+1\)。

    设 \(dp_i\) 表示以 \(p\) 为根的子树的第 \(i\) 层的权值和。

    则 \(dp_i = dp_{i - 1}\times4 +2^{i - 1}\)。初始化 \(dp_1 = val_p = 2^k - 1\)。

    显然 \(f(p) = \sum\limits_{i = 1}^{n - dep_p + 1} dp_i\)。

    而 \(n\le 1\times10^{12}\)，考虑矩阵快速幂优化。

    设一向量 \(\left[\begin{matrix}2^k-1 & 1 & 2^k - 1\end{matrix}\right]\) 分别表示 \(dp_i\)，现在的常数项的值，\(\sum dp_i\) 的值(\(k\) 即为题目给出的字符串长度，显然查询的是第 \(k\) 层的节点)。

    有转移矩阵

    \[\left[\begin{matrix}4 & 0 & 4\\1 & 2 & 1\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \]

    时间复杂度是的 \(\mathcal{O}(3^3 \log n)\)。代码