AtCoder

AtCoder 做题记录
- AtCoder Beginner Contest 378
  - A Pairing 检查一下 \(1 \sim 4\) 各有几个。代码
  - B Garbage Collection 根据 \(d\) 求出当天的余数，然后和 \(r\) 比较。代码。
  - C Repeating 用map存上一个该数的位置。代码。
  - D Count Simple Paths
    深搜板子。代码。
  - E Mod Sigma Problem
    
    维护前缀和 \(S\)。对 \([l, r]\) 的贡献，是 \((S_r - S_{l - 1}) \bmod M\)。得到 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的算法。
    
    需要对 \(M\) 取模很烦人，没有这个可以 \(S_r \times r - \sum\limits_{i = 1}^{r - 1} S_l\) 计算贡献。\(\sum\limits_{l = 1}^{r - 1} S_l\) 可以 \(\mathcal{O}(1)\) 维护。
    
    考虑去掉 \(\bmod\ M\)。前缀和取膜对答案没有影响。得到 \(\forall i \in [1, n], 0 \le S_i \lt M\)。
    
    \(S_r - S_l\) 转化为 \(S_r - S_l + [S_l \gt S_r] \times M\)。设 \(i \in [1, r - 1]\) 中， \(S_i \gt S_l\) 的个数为 \(T\)。
    
    \(r\) 的贡献为 \(S_r \times r - \sum\limits_{i = 1}^{r - 1} S_l + T \times M\)。
    
    用权值树状数组来求 \(T\)，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n \log n)\)。代码。
  - F Add One Edge 2
    
    统计度数为 \(3\) 的连通块的边上有多少度数为 \(2\) 的节点。
    
    连通块可以用并查集维护。代码。
  - G Everlasting LIDS
    
    LIS 和 LDS 可以用杨表维护。
    
    \(n+0.5\) 与排列中所有数互异，可以把原序列看为长为 \(A \times B\) 的排列。
    
    根据 Robinson-Schened Correspondence，两个杨表可以确定一个序列。第一个杨表维护原序列，第二个杨表维护第一个杨表中各个格子在第几轮被第一次填。
    
    第二个杨表用勾长公式来处理。
    
    根据题目，最后形成了一个 \(A\times B\) 的杨表 \(S\) 。由原本的形状得，\(n + 0.5\) 插在最后一列。不然杨表的排数会加 \(1\)。
    
    得到条件：\(\forall i\in [1,b), S_{i, A} \gt S_{i + 1, A - 1}\)。
    
    dp，用 \(f_{a_1,a_2,\dots,a_b}\) 表示第 \(i\) 排插入了 \(a_i\) 个数的方案数。
    
    如果 \(a_i\lt a_i - 1\)，可以转移到 \(f_{a_1, a_2,\dots,a_i + 1, a_{i+ 1}, \dots, a_b}\)。
    
    最后一排需要满足特殊的条件，如果在第 \(i\) 排要插入最后一个数，那么 \(S_{i + 1, A - 1}\) 需要已填，不然不满足约束。
    
    最后的答案为两个杨表的方案数的乘积。代码。
- UNIQUE VISION Programming Contest 2024 Christmas (AtCoder Beginner Contest 385)
  - A Equally 简单检查。代码。
  - B Santa Claus 1 简单模拟。代码。
  - C Illuminate Buildings
    
    简单dp，设 \(f_{i, j}\) 表示以第 \(i\) 项为结尾，元素间隔为 \(j\) 的值。
    
    容易得到转移方程：\(f_{i, i - j} = f_{j, i - j} + 1\ (a_i = a_j)\)。
    
    暴力转移。代码。
  - D Santa Claus 2
    
    事实证明我的代码能力有多差。
    
    很简单，用 map<int, set<int> > 定义一个容器，然后每次二分。代码。
    
    学习了Drifty的实现方法。
  - E Snowflake Tree
    
    事实再次证明我的代码能力有多差。
    
    容易想到枚举每个点为 Snowflake Tree 的核心，然后按度数排序计算答案。抽象代码|正常代码。
  - F Visible Buildings
    
    想象图像，大概呈一条折线，显然答案在相邻两点间。代码。
  待补：G：等我学会多项式。
- AtCoder Beginner Contest 387
  - A Happy New Year 2025 输出。代码。
  - B 9x9 Sum 开个桶。代码。
  - C Snake Numbers
    
    定义 \(f(n)\) 为 \([1,n]\) 中 snake 数的个数。输出答案为 \(f(R) - f(L - 1)\)。小于 \(10\) 的数视为 snake 数没影响。
    
    计算 \(f(n)\)：
    
    \(n\) 有 \(m\) 位，从大到小的数位为 \(d_i(1\le i \le m)\)。
    
    小于等于 \(n\) 的 snake 数 \(x\) 有 4 种情况：
    - \(x = n\)，如果 \(n\) 本身是 snake 数，对答案有 \(1\) 的贡献。
    - \(x\) 有 \(m\) 位，前 \(k(1\lt k \lt m)\) 位与 \(n\) 相同，第 \(k + 1\) 位小于 \(d_{k+1}\)。
      
      第 \(k + 1\) 位有 \(\min(d_1,d_{k + 1})\) 种可能，其后有 \(d_1^{m - k - 1}\) 种可能。对答案的贡献为 \(\min(d_1,d_{k + 1})\times d_1^{m - k - 1}\)
    - \(x\) 有 \(m\) 位，第 \(1\) 位小于 \(d_1\)。如果第 \(1\) 位为 \(f( 1\le f \lt d_1)\)，对答案的贡献为 \(f^{m-1}\)。
    - \(x\) 有 \(k\) 位，\(k \lt m\)，第 \(1\) 位的取值范围为 \([1,9]\)，记为 \(f\)，对答案的贡献为 \(f^{k-1}\)。
    代码。
  - D Snaky Walk 带 vis 的广搜。多了一个方向的维度。代码。
  - E Digit Sum Divisible 2
    
    没想过写构造题如此狼狈。
    
    对于一定范围内的 \(n\) 可以暴力查找搜索。
    
    \(n \gt 10^5\)，总是可以构造出结果。只要考虑 \(n\) 的最高位，容易想到做法。代码。
  - F Count Arrays
    
    如果有 \(a_i = j, a_j = i\)，说明 \(x_i = x_j\)。
    
    在 \(a_i,i\) 间建边，会得到一张有向图。将所有 \(x_i = x_j\) 缩点，即将 SCC 缩点，得一张森林。
    
    在这张森林上跑树形 dp。
    
    具体来说，设 \(g_{u,i}\) 表示 \(u\) 点取 \(i\) 时的所有可能情况的数量，\(f_{u,j}\) 表示 \(u\) 点取值不大于 \(i\) 时所有可能的数量。得到转移式 \(g_{u,i} = \prod\limits_{v \in son(u)}f_{v, i}\)，\(f_{u, i} = \sum \limits_{j = 1}^{i}g_{u, i}\)。代码。