动态规划做题记录

个人做完题目后的总结。

所有记录仅代表个人，如果您是神犇觉得我太菜/题目是 sb 题/马蜂奇特请亲喷。

树形 dp

P9437 『XYGOI round1』一棵树

首先写了 \(O(n^2)\) 的暴力，记录 \(a_i\) 的位数可以过 \(20\text{pts}\)

点击查看代码

#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
#define FRZ_29
#endif

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
typedef long long LL;

using namespace std;

void RD() {}
template<typename T, typename... U> void RD(T &x, U&... arg) {
    x = 0; int f = 1; char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0', ch = getchar();
    x *= f; RD(arg...);
}

void WT() {}
template<typename T> void WT(T &x) {
    if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }; 
    if (x > 9) WT(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

const int mod = 998244353;
const int N = 1e6 + 5;

#define PRINT(x) cout << #x << " = " << x << "\n"
#define LF(i, __l, __r) for (int i = __l; i <= __r; i++)
#define RF(i, __r, __l) for (int i = __r; i >= __l; i--)

LL head[N], ver[N << 1], Next[N << 1], tot = 1;
LL n, a[N], ans, dis[N], dig[N];

void add(int u, int v) {
    Next[++tot] = head[u]; ver[head[u] = tot] = v;
}

void dfs(int u, int _f) {
    for (int i = head[u]; i; i = Next[i]) {
        int v = ver[i]; if (v == _f) continue; 
        int x = a[v]; dis[v] = dis[u];
        if (dig[v]) { dis[v] = 1LL * dis[v] * dig[v] % mod; }
        else if (x == 0) { dig[v] = 10; dis[v] = dis[v] * 10 % mod; }
        else while (x) { (dig[v] = dig[v] == 0 ? 10 : dig[v] * 10) %= mod; dis[v] = dis[v] * 10 % mod; x /= 10; }
        dis[v] = (dis[v] + a[v]) % mod;
        dfs(v, u);
    }

    (ans += dis[u]) %= mod;
}

int main() {
#ifdef FRZ_29
    freopen("z_example.in", "r", stdin);
    freopen("z_example.out", "w", stdout);
#endif

    RD(n);
    LF(i, 1, n) RD(a[i]);
    LF(i, 2, n) {
        int fa; RD(fa); add(fa, i), add(i, fa);
    }

    LF(i, 1, n) {
        dis[i] = a[i]; dfs(i, 0);
        // LF(i, 1, n) printf("dis[%d] = %d\n", i, dis[i]);
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

// START:2024/10/30 21:06:11;

然后考虑特殊性质 1。

设 \(T(i, j)\) 为 \(i \rightarrow j\) 经过所有数的位数和（不包括 \(i\)）。

想到 \(i \rightarrow j\) 的贡献中 \(a_i\) 的贡献为 \(10^{T(i, j)} \times a_i\)。

遂想到换根转移 \(f_u = \sum_{i \in [1, n]} ^ {i \not= u} T(u, i)\) 来计算每个点对答案的贡献。

但经过实操发现困难，于是向题解求助。

发现只要改变成求其他点到该点的贡献就好处理了。

点击查看代码

#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
#define FRZ_29
#endif

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
typedef long long LL;

using namespace std;

void RD() {}
template<typename T, typename... U> void RD(T &x, U&... arg) {
    x = 0; int f = 1; char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0', ch = getchar();
    x *= f; RD(arg...);
}

void WT() {}
template<typename T> void WT(T &x) {
    if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }; 
    if (x > 9) WT(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

const int N = 1e6 + 5;
const int mod = 998244353;

#define PRINT(x) cout << #x << " = " << x << "\n"
#define LF(i, __l, __r) for (int i = __l; i <= __r; i++)
#define RF(i, __r, __l) for (int i = __r; i >= __l; i--)

int lg(int x) {
    int t = 0;
    if (x == 0) return 1;
    else while (x) t++, x /= 10; 
    return t;
}

int head[N], ver[N << 1], Next[N << 1], tot = 1;
int n, a[N], sz[N], dig[N];
LL f[N], g[N], pw[N], sum[N], ans;

void add(int u, int v) {
    Next[++tot] = head[u];
    ver[head[u] = tot] = v;
}

void dfs1(int u, int _f) {
    dig[u] = lg(a[u]), sz[u] = 1;
    for (int i = head[u]; i; i = Next[i]) {
        int v = ver[i]; if (v == _f) continue;
        dfs1(v, u); sz[u] += sz[v];
        (sum[u] += f[v]) %= mod;
        (f[u] += f[v] * pw[dig[u]] % mod + 1LL * sz[v] * a[u]) %= mod;
    }

    (f[u] += a[u]) %= mod;
}

void dfs2(int u, int _f) {
    for (int i = head[u]; i; i = Next[i]) {
        int v = ver[i]; if (v == _f) continue;
        g[v] = ((g[u] + (sum[u] + mod - f[v]) % mod) % mod * pw[dig[u]] + 1LL * (n - sz[v]) * a[u] % mod) % mod;
        (ans += (g[v] + sum[v]) % mod * pw[dig[v]] + 1LL * n * a[v] % mod) %= mod;
        dfs2(v, u);
    }
}

int main() {
#ifdef FRZ_29
    freopen("z_example.in", "r", stdin);
    freopen("z_example.out", "w", stdout);
#endif

    pw[1] = 10;
    LF(i, 2, 9) pw[i] = pw[i - 1] * 10 % mod;
    RD(n);
    LF(i, 1, n) RD(a[i]);
    LF(i, 2, n) {
        int fa; RD(fa);
        add(fa, i), add(i, fa);
    }

    dfs1(1, 0);
    ans += f[1];
    dfs2(1, 0);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

// START:2024/10/31 17:47:59;

似乎一条路走不通改换条路走呢。

无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。