费马小定理

费马小定理

若看不懂数学符号的可以看看这

前置知识

• \(\mathbb{P}\) 是素数集，\(\mathbb{P} = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \cdots\}\)。
• \(\bot\) 表示互质。

内容

费马小定理：\(\forall p \in \mathbb{P},p \nmid a(a \in \mathbb{Z})\)，有 \(a^{p-1} \equiv1 \pmod p\)

证明

引理：当 \(p\) 是素数时，若两个数相乘是 \(p\) 的倍数，其中至少有一个是 \(p\) 的倍数。因为 \(p\) 仅有 \(1\) 和 \(p\) 两个因子。

有真命题：若 \(a \bot p\)，则 \(\forall x \neq y, 1 \leq x, y\lt p, xa \not\equiv ya\pmod p\)

证明：\(\because a \bot b,(x-y) \lt p\)

\(\therefore p \nmid xa - ya\)

\(\therefore xa \not\equiv ya \pmod p\)

进一步考虑 \(1\) 到 \(p - 1\) 的每个数，因为它们对 \(p\) 取模后结果互不相同，所以它们一定恰好取过 \(1\) 到 \(p - 1\) 的每个数。

用数学语言讲：$$\prod_{i = 1}^{p-1}i \equiv \prod_{i = 1}^{p - 1}ai \pmod p$$
设 \(f= (p-1)!\)，则 \(f \equiv 1 \times a \times 2 \times a \times 3 \times a \cdots\times (p - 1) \times a\)。
即 \(a^{p-1}\times f \equiv f \pmod p\)
\(\therefore a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)
证毕。

应用

可用来求乘法逆元。
待补充。
（博主太菜了（悲）

参考资料

oi-wiki
Alew_Wei神牛的blog

海可能会枯，也可能不会，然而可以确定的是，我们看海的人一定会比海先枯。