Fibonotci / Eat
两个矩阵快速幂优化的好题
Fibonotci
对于这种转移有循环的函数，因为每一次对初始元素的操作是相同的，那么就可以抽象成在这个循环的前端输入了一个元素，然后经过一番操作，得到了新的元素，然后先考虑没有修改的做法，因为每n个的转移是一样的，那么对于n步内的每一个转移构造一个2*2的矩阵，然后把这些矩阵乘起来，然后如果K是n的整数倍，直接用得到的矩阵快速幂就行了，如果不是，那么剩下不足n个的暴力算就行了
对于有修改的情况，我们可以在每修改的两个位置之间的地方进行快速幂，然后手动跳过去就行了。但是如果修改的位置在一个循环的中间位置，那么从这个位置到这个循环末端剩下的部分组成的循环矩阵需要一种数据结构迅速得到，那么就可以用线段树来维护，每一个节点是一个矩阵，然后就可以维护了。
1 #include <cmath> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstdlib> 4 #include <cstring> 5 #include <iostream> 6 #include <algorithm> 7 using namespace std; 8 typedef long long LL; 9 void ot(){cout<<"***"<<endl;} 10 const int maxn=50010; 11 LL K,mod,n,m; 12 LL s[maxn]; 13 struct MM{ 14 LL d[4][4]; 15 void clear(){memset(d,0,sizeof(d));} 16 void beg(){ memset(d,0,sizeof(d)); d[1][1]=d[2][2]=1;} 17 void O(){ 18 for(int i=1;i<=2;i++){ 19 for(int j=1;j<=2;j++) 20 cout<<d[i][j]<<" "; 21 cout<<endl; 22 } 23 cout<<endl; 24 } 25 }; 26 struct MMM{ 27 LL d[4]; 28 void clear(){memset(d,0,sizeof(d));} 29 }; 30 MM c; 31 MM operator * (const MM a,const MM b){ 32 c.clear(); 33 for(int k=1;k<=2;k++) 34 for(int i=1;i<=2;i++) 35 for(int j=1;j<=2;j++){ 36 c.d[i][j]=(c.d[i][j]+b.d[i][k]*a.d[k][j]%mod)%mod; 37 } 38 return c; 39 } 40 MMM cc; 41 MMM operator * (const MMM a,const MM b){ 42 cc.clear(); 43 for(int i=1;i<=2;i++) 44 for(int j=1;j<=2;j++) 45 cc.d[i]=(cc.d[i]+a.d[j]*b.d[i][j])%mod; 46 return cc; 47 } 48 MM sum[maxn*4]; 49 void Build(int now,int l,int r){ 50 if(l==r){ 51 if(l==0){ sum[now].beg(); return;} 52 sum[now].d[1][1]=s[l%n]; sum[now].d[1][2]=s[(l-1)%n]; 53 sum[now].d[2][1]=1; sum[now].d[2][2]=0; 54 return; 55 } 56 int mid=(l+r)>>1; 57 Build(now<<1,l,mid); Build(now<<1|1,mid+1,r); 58 sum[now]=sum[now<<1]*sum[now<<1|1]; 59 /* 60 cout<<"================="<<endl; 61 cout<<"lr== "<<l<<" "<<r<<endl; 62 sum[now].O(); 63 sum[now<<1].O(); 64 sum[now<<1|1].O(); 65 cout<<"================="<<endl; 66 */ 67 } 68 MM e; 69 int timer; 70 MM query(int left,int right,int now,int l,int r){ 71 if(left>right) return e; 72 if(left<=l && r<=right){ 73 return sum[now]; 74 } 75 int mid=(l+r)>>1; MM ret; ret.beg(); 76 if(left<=mid) ret=ret*query(left,right,now<<1,l,mid); 77 if(right>mid) ret=ret*query(left,right,now<<1|1,mid+1,r); 78 return ret; 79 } 80 struct Boy{ 81 LL id,to; 82 }g[maxn]; 83 bool cmp1(const Boy &a,const Boy &b){return a.id<b.id;} 84 void init(){ 85 scanf("%lld%lld%lld",&K,&mod,&n); 86 for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&s[i]); 87 scanf("%lld",&m); 88 for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lld%lld",&g[i].id,&g[i].to); 89 sort(g+1,g+m+1,cmp1); 90 Build(1,1,n); 91 e.beg(); 92 } 93 MM ksm(MM a,LL b){ 94 MM ret; ret.beg(); 95 while(b){ 96 if(b&1) ret=ret*a; 97 b>>=1; a=a*a; 98 } 99 return ret; 100 } 101 MMM f; 102 void work1(){ 103 LL t=K/n,rm=K-K/n*n; 104 if(rm==0) t--,rm=n; 105 MM bs=sum[1]; 106 bs=ksm(bs,t); 107 f.d[1]=1; f.d[2]=0; 108 f=f*bs; 109 if(rm-1) bs=query(1,rm-1,1,1,n),f=f*bs; 110 cout<<f.d[1]<<endl; 111 } 112 MMM cun; 113 MM Ask(LL l,LL r){ 114 LL len=r-l; MM bs,ha; bs.beg(); 115 LL t1,t2,len1,len2; 116 if(l%n==0){ 117 bs=query(n,n,1,1,n); l++; 118 } 119 if(r-l<n){ 120 // if(timer) ot(); 121 if(r%n>=l%n){ 122 123 bs=bs*query(l%n,r%n-1,1,1,n); 124 } 125 else if(r%n==0){ 126 127 bs=bs*query(l%n,n-1,1,1,n); 128 } 129 else{ 130 131 bs=bs*query(l%n,n,1,1,n); 132 if(r%n-1) bs=bs*query(1,r%n-1,1,1,n); 133 if(timer){ 134 cout<<l%n<<" "<<r%n-1<<endl; 135 } 136 } 137 } 138 else{ 139 140 if(r%n!=0 && r%n-1==0){ 141 // if(timer){ 142 // cout<<"llll== "<<l<<" "<<r<<endl; 143 // cout<<l%n<<" "<<r%n<<endl; 144 // } 145 t1=l%n? l%n:n; 146 len1=n-t1+1; 147 bs=bs*query(t1,n,1,1,n); 148 len-=len1; 149 LL t=len/n; 150 // if(timer) cout<<"len== "<<len<<endl; 151 ha=sum[1]; 152 ha=ksm(ha,t); 153 bs=bs*ha; 154 } 155 else{ 156 t1=l%n? l%n:n; 157 len1=n-t1+1; 158 bs=bs*query(t1,n,1,1,n); 159 len-=len1; 160 t2=r%n? r%n-1:n-1; 161 len2=t2; 162 len-=len2; 163 LL t=len/n; 164 ha=sum[1]; 165 ha=ksm(ha,t); 166 bs=bs*ha; 167 bs=bs*query(1,t2,1,1,n); 168 } 169 } 170 return bs; 171 } 172 void work2(){ 173 LL id,to; 174 LL lst=1; MM bs; 175 f.d[0]=0; f.d[1]=1; 176 int od=82,od1=0; 177 g[0].id=-2; g[m+1].id=-4; 178 for(int i=1;i<=m;i++){ 179 id=g[i].id,to=g[i].to; 180 if(id==od || id==od1) timer=1; 181 if(id>=K) break; 182 cun=f; 183 // if(timer){ cout<<"dun== "<<cun.d[1]<<" "<<cun.d[2]<<endl;} 184 bs=Ask(lst,id); 185 f=f*bs; 186 lst=id; 187 // if(timer){cout<<"id== "<<id<<" "<<f.d[1]<<endl;} 188 if(g[i].id+1==g[i+1].id){ 189 LL t=f.d[1]; 190 f.d[1]=(f.d[1]*to%mod+f.d[2]*s[(id-1)%n]%mod)%mod; 191 f.d[2]=t; t=f.d[1]; 192 lst=id+1; 193 if(lst==K){cout<<f.d[1]<<endl; return;} 194 while(g[i].id+1==g[i+1].id){ 195 t=f.d[1]; 196 f.d[1]=(f.d[1]*g[i+1].to%mod+f.d[2]*g[i].to%mod)%mod; 197 f.d[2]=t; t=f.d[1]; 198 lst++; 199 if(lst==K){cout<<f.d[1]<<endl; return;} 200 i++; 201 } 202 t=f.d[1]; 203 f.d[1]=(f.d[1]*s[lst%n]%mod+f.d[2]*g[i].to%mod)%mod; 204 f.d[2]=t; 205 lst++; 206 // cout<<"lst= "<<lst<<" "<<f.d[1]<<" "<<g[i].id<<endl; 207 if(lst==K) if(lst==K){cout<<f.d[1]<<endl; return;} 208 } 209 else{ 210 LL t=f.d[1]; 211 f.d[1]=(f.d[1]*to%mod+f.d[2]*s[(id-1)%n]%mod)%mod; 212 f.d[2]=t; t=f.d[1]; 213 f.d[1]=(f.d[1]*s[(id+1)%n]%mod+f.d[2]*to%mod)%mod; 214 f.d[2]=t; 215 lst=id+2; 216 } 217 if(id==od || id==od1){timer=0;} 218 if(id+1==K){cout<<f.d[2]<<endl; return;} 219 if(id+2==K){cout<<f.d[1]<<endl; return;} 220 } 221 bs=Ask(lst,K); 222 f=f*bs; 223 cout<<f.d[1]<<endl; 224 } 225 int main(){ 226 // check(); 227 // freopen("fibonotci4.in","r",stdin); 228 // freopen("a.in","r",stdin); 229 init(); 230 if(m==0) work1(); 231 else work2(); 232 }
Eat
这个题有20分的暴力，那么直接插头就行了，然后可以发现每一行转移完了之后，发现只有9个有效的状态，那么可以构建一个9*9的状态之间的转移矩阵，然后就可以像上一题一样一段一段的跳就行了
1 #include <cmath> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <cstdlib> 5 #include <iostream> 6 #include <algorithm> 7 using namespace std; 8 typedef long long LL; 9 const int mod=1000000007; 10 LL n,m,c,d; 11 int cnt; 12 struct Point{LL x,y,nam;}spc[50]; 13 bool cmp1(const Point &a,const Point &b){return a.x==b.x? a.y<b.y:a.x<b.x;} 14 int q[20],tot,id[200],cun[10]; 15 void Jud(){ 16 int mk=0,S=0; 17 for(int i=1;i<=m;i++) 18 if(cun[i]==1) mk++; 19 else if(cun[i]==2 && mk) mk--; 20 else if(cun[i]==2 && mk<=0) return; 21 if(mk!=0) return; 22 for(int i=1;i<=m;i++) S|=(cun[i]<<(i-1 << 1)); 23 q[++tot]=S; 24 } 25 void dfs(int x){ 26 if(x==m+1){ Jud();return;} 27 for(int i=0;i<=2;i++){ 28 cun[x]=i; dfs(x+1); 29 } 30 } 31 void find_id(){ 32 dfs(1); sort(q+1,q+tot+1); 33 for(int i=1;i<=tot;i++) id[q[i]]=i; 34 } 35 struct MM{ 36 LL d[11][11]; 37 void clear(){memset(d,0,sizeof(d));} 38 void beg(){memset(d,0,sizeof(d)); for(int i=1;i<=tot;i++) d[i][i]=1;} 39 void O(){ 40 for(int i=1;i<=tot;i++){ 41 for(int j=1;j<=tot;j++) 42 cout<<d[i][j]<<" "; cout<<endl; 43 } cout<<endl; 44 } 45 }cc,bs; 46 MM operator * (const MM &a,const MM &b){ 47 cc.clear(); 48 for(int i=1;i<=tot;i++) 49 for(int j=1;j<=tot;j++) 50 for(int k=1;k<=tot;k++) 51 cc.d[i][j]=(cc.d[i][j] + a.d[i][k]*b.d[k][j]%mod)%mod; 52 return cc; 53 } 54 struct MMM{ 55 LL d[11]; 56 void clear(){memset(d,0,sizeof(d));} 57 void O(){for(int i=1;i<=tot;i++) cout<<d[i]<<" "; cout<<endl<<endl;} 58 }ccc; 59 MMM operator * (const MMM &a,const MM &b){ 60 ccc.clear(); 61 for(int i=1;i<=tot;i++) 62 for(int j=1;j<=tot;j++) 63 ccc.d[i]=(ccc.d[i] + a.d[j]*b.d[j][i]%mod)%mod; 64 return ccc; 65 } 66 MM ksm(MM a,LL b){ 67 MM ret; ret.beg(); 68 while(b){ 69 if(b&1) ret=ret*a; 70 b>>=1; a=a*a; 71 } 72 return ret; 73 } 74 struct Hash_map{ 75 int key; 76 struct edge{int u,nxt; LL v;}g[1<<20]; 77 int adj[77543],e; 78 void clear(){memset(adj,-1,sizeof(adj)); e=0;} 79 Hash_map(){key=76543; clear();} 80 LL& newnode(int u){ 81 g[e].u=u; g[e].v=0; 82 g[e].nxt=adj[u%key]; adj[u%key]=e++; 83 return g[e-1].v; 84 } 85 LL& operator [] (const int u){ 86 for(int i=adj[u%key];i!=-1;i=g[i].nxt){ 87 if(u==g[i].u) return g[i].v; 88 } 89 return newnode(u); 90 } 91 }f[2]; 92 void Set(int &S,int x,int w){ 93 x=(x-1 << 1); 94 S|=3<<x; 95 S^=3<<x; 96 S|=w<<x; 97 } 98 int Get(int S,int x){return (S>>(x-1 << 1))&3;} 99 int find(int S,int x){ 100 int d=(Get(S,x)==1?1:-1),p,mk=0; 101 for(int i=x;i&&i<=m+1;i+=d){ 102 p=Get(S,i); 103 if(p==1) mk++; 104 else if(p==2) mk--; 105 if(!mk) return i; 106 } 107 } 108 int w[10],now,ey; 109 LL ans; 110 void see(int S){ for(int i=1;i<=m+1;i++) cout<<Get(S,i)<<" "; cout<<endl;} 111 void check(){ 112 for(int i=0;i<f[now].e;i++){ 113 cout<<" S= "<<f[now].g[i].u<<" :::"; see(f[now].g[i].u); 114 cout<<" val= "<<f[now].g[i].v<<endl; 115 } 116 } 117 void DP(int y,int od){ 118 now^=1; int lst=now^1,p1,p2,S; LL val; f[now].clear(); 119 for(int i=0;i<f[lst].e;i++){ 120 S=f[lst].g[i].u; val=f[lst].g[i].v; 121 p1=Get(S,y); p2=Get(S,y+1); 122 if(w[y]==-1){ 123 if(!p1 && !p2) f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod; 124 continue; 125 } 126 if(!p1 && !p2){ 127 if(!w[y]) f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod; 128 if(od && y==ey && !S) ans=(ans+val)%mod; 129 if(!od && y!=m) Set(S,y,1), Set(S,y+1,2), f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod; 130 } 131 else if(!p1 && p2){ 132 if(y!=m) f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod; 133 if(!od) Set(S,y,p2),Set(S,y+1,0),f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod; 134 } 135 else if(p1 && !p2){ 136 if(!od) f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod; 137 if(y!=m) Set(S,y+1,p1),Set(S,y,0),f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod; 138 } 139 else if(p1==1 && p2==2){ 140 Set(S,y,0),Set(S,y+1,0); 141 if(od && y==ey && !S) ans=(ans+val)%mod; 142 f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod; 143 } 144 else if(p1==1 && p2==1){Set(S,find(S,y+1),1),Set(S,y,0),Set(S,y+1,0);f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;} 145 else if(p1==2 && p2==2){Set(S,find(S,y),2),Set(S,y,0),Set(S,y+1,0); f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;} 146 else if(p1==2 && p2==1){Set(S,y,0),Set(S,y+1,0); f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;} 147 } 148 } 149 void make_MM(){ 150 int S,u; memset(w,0,sizeof(w)); bs.clear(); 151 for(int i=1;i<=tot;i++){ 152 now=0; f[now].clear(); f[now][q[i]<<2]=1; 153 for(int j=1;j<=m;j++) DP(j,0); 154 for(int j=0;j<f[now].e;j++){ 155 u=f[now].g[j].u; 156 bs.d[i][id[u]]+=f[now].g[j].v; 157 } 158 } 159 } 160 MMM F; 161 void work(){ 162 F.d[id[0]]=1; MM fast; 163 LL lst=0,i; LL t; 164 for(i=1;i<=cnt;i++){ 165 t=spc[i].x-lst-1; fast=bs; 166 fast=ksm(fast,t); F=F*fast; lst=spc[i].x-1; 167 if(spc[i].x==n) break; 168 memset(w,0,sizeof(w)); 169 w[spc[i].y]=spc[i].nam; 170 while(spc[i].x==spc[i+1].x) i++,w[spc[i].y]=spc[i].nam; 171 now=0; f[now].clear(); 172 for(int j=1;j<=tot;j++) f[now][q[j]<<2]=F.d[j]; 173 for(int j=1;j<=m;j++) DP(j,0); 174 F.clear(); 175 for(int j=0;j<f[now].e;j++) F.d[id[f[now].g[j].u]]=f[now].g[j].v; 176 lst=spc[i].x; 177 } 178 t=n-lst-1; fast=bs; 179 fast=ksm(fast,t); F=F*fast; 180 memset(w,0,sizeof(w)); 181 while(i<=cnt) w[spc[i].y]=spc[i].nam; 182 for(int j=1;j<=m;j++) if(w[j]>=0) ey=j; 183 now=0; f[now].clear(); 184 for(int j=1;j<=tot;j++) f[now][q[j]<<2]=F.d[j]; 185 for(int j=1;j<=m;j++) DP(j,1); 186 cout<<ans<<endl; 187 } 188 int main(){ 189 // freopen("eat6.in","r",stdin); 190 scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&c,&d); 191 for(int i=1;i<=c;i++) spc[++cnt].nam=-1,scanf("%lld%lld",&spc[cnt].x,&spc[cnt].y); 192 for(int i=1;i<=d;i++) spc[++cnt].nam= 1,scanf("%lld%lld",&spc[cnt].x,&spc[cnt].y); 193 sort(spc+1,spc+cnt+1,cmp1); spc[cnt+1].x=spc[cnt+1].y=-10; 194 find_id(); 195 make_MM(); 196 work(); 197 }
