Password （欧拉函数降幂）

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题目描述

Rivest是密码学专家。近日他正在研究一种数列E = {E[1],E[2],……,E[n]}，
且E[1] = E[2] = p（p为一个质数），E[i] = E[i-2]*E[i-1] （若2<i<=n）。

例如{2,2,4,8,32,256,8192,……}就是p = 2的数列。在此基础上他又设计了一种加密算法，该算法可以通过一个密钥q (q < p)将一个正整数n加密成另外一个正整数d，计算公式为：d = E[n] mod q。现在Rivest想对一组数据进行加密，但他对程序设计不太感兴趣，请你帮助他设计一个数据加密程序。

输入

第一行读入m，p。其中m表示数据个数，p用来生成数列E。 以下有m行，每行有2个整数n，q。n为待加密数据，q为密钥。 数据范围: 0 < p n< 2^31 0 < q < p 0 < m <= 5000。

输出

将加密后的数据按顺序输出到文件 第i行输出第i个加密后的数据。 输入样例1 2 7 4 5 4 6 输入样例2 4 7 2 4 7 1 6 5 9 3

样例输入

输入样例1 
2 7 
4 5 
4 6 
输入样例2 
4 7 
2 4 
7 1 
6 5 
9 3 

样例输出

输出样例1
3
1

输出样例2
3
0
1
1

solution

 这道题在考场小就想到了矩阵快速幂找次数（菲波那切数列），然后直接快速幂，但是菲波那切数列增长的很快，特别容易炸long long ,结果还没有用f数组一路推过去，边推边模得的分多，

其实我的想法差的就是怎么把这么好的幂次降下来，这就要用到欧拉函数，p^n %k=p^(n%Φk)%k(当k为素数)，当k不是素数时

p^n %k=p^(n%Φk+Φk)%k,这样就能有效的把幂次降下来，然后矩阵快速幂+快速幂就好了

#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int m,n;
long long mo,p;
long long f[5],a[5][5];
long long c[5];
long long phi;
long long OL(long long t){
    long long k=t;
    for(int i=2;i*i<=t;i++){
        if(t%i==0){
            k=k-k/i;
            while(t%i==0){
                t/=i;
            }
        }
    }
    if(t>1){
        k=k-k/t;
    }
    return k;
}
void cheng1(){
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(int i=1;i<=2;i++){
        for(int j=1;j<=2;j++){
            c[i]+=f[j]*a[j][i];
            c[i]%=phi;
        }
    }
    for(int i=1;i<=2;i++){
        f[i]=c[i];
    }
}
long long d[5][5];
void cheng2(){
    memset(d,0,sizeof(d));
    for(int k=1;k<=2;k++){
        for(int i=1;i<=2;i++){
            for(int j=1;j<=2;j++){
                d[i][j]+=a[i][k]*a[k][j];
                d[i][j]%=phi;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=2;i++){
        for(int j=1;j<=2;j++){
            a[i][j]=d[i][j];
        }
    }
}
int main(){
    //freopen("a07.in","r",stdin);
    //freopen("password.in","r",stdin);
    //freopen("password.out","w",stdout);
    scanf("%d%lld",&m,&p);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%lld",&n,&mo);
        f[1]=1; f[2]=1; a[1][1]=1; a[1][2]=1; a[2][1]=1; a[2][2]=0;
        if(n<=2){
            printf("%lld\n",p%mo);
            continue;
        }
        phi=OL(mo);
        n-=2;
        while(n){
            if(n&1){
                cheng1();
            }
            cheng2();
            n=(n>>1);
        }
        long long t=f[1];
        long long ans=1,ch=p;
        while(t){
            if(t&1){
                ans*=ch;
                ans%=mo;
            }
            ch*=ch;
            ch%=mo;
            t=(t>>1);
        }
        printf("%lld\n",ans%mo);
    }
    return 0;
}