弱题（循环矩阵1）

问题 D: 弱题

时间限制: 1 Sec  内存限制: 128 MB

题目描述

有M个球，一开始每个球均有一个初始标号，标号范围为1～N且为整数，标号为i的球有ai个，并保证Σai = M。

每次操作等概率取出一个球（即取出每个球的概率均为1/M），若这个球标号为k（k < N），则将它重新标号为k + 1；若这个球标号为N，则将其重标号为1。（取出球后并不将其丢弃）

现在你需要求出，经过K次这样的操作后，每个标号的球的期望个数。

 

 

输入

第1行包含三个正整数N，M，K，表示了标号与球的个数以及操作次数。

第2行包含N个非负整数ai，表示初始标号为i的球有ai个。

 

 

输出

应包含N行，第i行为标号为i的球的期望个数，四舍五入保留3位小数。

 

 

样例输入

2 3 2
3 0
 

样例输出

1.667
1.333


这道题很容易就能想到用矩阵快速幂，但n^3的时间复杂度显然是过不去，然后根据DP方程 f[i]=a/n*f[i-1]+(1-b/n)*f[i];所以每一项的转移都是从本位和前一位转移而来的，那么在构建出来的矩阵，无论自乘多少次都能地i+1行是由i行右移的得到的，最后一位到第一位；那么就可以用矩阵的第一行来表示整个矩阵，我实现的有些麻烦，我有把整个矩阵都重现了出来，其实可以直接由一个关系直接转移，还有进一步的优化空间；
  （

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,K;
int num[1010];
double f[1010];
double a[1010][1010];
double cc[1010];
double b[1010][1010];
void cheng1(){
    memset(cc,0,sizeof(cc));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cc[i]+=b[j][i]*f[j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=cc[i];
}
double dd[1010][1010];
void cheng2(){
    memset(dd,0,sizeof(dd));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            dd[1][i]+=a[1][j]*a[j][i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[1][i]=dd[1][i];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(j==1){
                a[i][j]=a[i-1][n];
                continue;
            }
            a[i][j]=a[i-1][j-1];
        }
    }
}
void cheng3(){
    memset(dd,0,sizeof(dd));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            dd[1][i]+=a[1][j]*b[j][i];
            //if(i==1) cout<<"--->"<<a[1][j]<<"  "<<b[j][i]<<endl;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        b[1][i]=dd[1][i];
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(j==1){
                b[i][j]=b[i-1][n];
                continue;
            }
            b[i][j]=b[i-1][j-1];
        }
    }
    //while(1);
}
int main(){
    //freopen("a.in","r",stdin);
//  freopen("1.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&num[i]);
        f[i]=num[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i][i]=1;
    a[1][1]+=(double)(m-1)/m;
    a[n][1]+=(double)1/m;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        a[i][i]+=(double)(m-1)/m;
        a[i-1][i]+=(double)1/m;
    }
    /*
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cout<<a[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }*/
    while(K){
        if(K&1){
            cheng3();
        }
        cheng2();
        K=K>>1;
    }
    cheng1();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        printf("%.3lf\n",f[i]);
    }
    return 0;
}

 

循环矩阵留坑）