抽象代数学习笔记

【基础定义】

1. 笛卡尔积。

   $A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$。$A$ 和 $B$ 各是一个集合。

2. 运算。一般研究二元运算（加减乘除等）。

   运算是一种映射。从两个集合 $A,B$ 到一个集合 $C$ 的映射，满足 $A\times B=C$（笛卡尔积）。

3. 群。

   群是集合 $G$ 和运算 $\ast$ 的二元组 $(G,\ast )$。

   群需要满足以下性质：

   • 封闭性。$\ast$ 为 $G\times G\to G$ 的映射。

   • 结合律。$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$。

   • 单位元。存在 $e\in G$ 使得任意 $a\in G$ 有 $a\ast e=a$、$e\ast a=a$。

     注：$e$ 唯一不是群的定义，而是群的性质。

   • 逆元。对任意 $a\in G$，存在 $a^{-1}\in G$，使得 $a\ast a^{-1}=e$、$a^{-1}\ast a=e$。

     注：$a^{-1}$ 唯一、逆元都是相互的，不是群的定义，而是群的性质。

   满足前两个的二元组叫半群；满足前三个的叫幺半群；如果在群的基础上还满足交换律，叫阿贝尔群。

   注：一个简单的非阿贝尔群的群是二面体群。它由所有 "旋转 $\alpha$ 度" 和 "旋转 $\alpha$ 度并左右翻转" 的操作构成，且所有在它里面的操作对正 $n$ 边形应用后，形状相同。

4. 子群。

   一个群 $(G,\ast )$ 的一个子群 $(G^{\prime },\ast )$，要满足 $G^{\prime }\subseteq G$ 且 $(G^{\prime },\ast )$ 是群。

5. 生成子群。

   一个群 $(G,\ast )$。对于一个集合 $A\subseteq G$ 的生成子群，是 $A$ 中元素通过 $\ast$ 和取逆元能得到的所有元素，与 $\ast$ 操作构成的子群。

   单个元素只用 $\ast$ 运算在有限群中的生成子群，记作 $<a>$。$<a>$ 的元素个数称作 $a$ 的阶。子群元素个数称作子群的阶。

   如果考虑 $\ast$ 定义为乘法，$a\ast a=a^2$。我们发现如果 $a^x=a$，那么 $<a>=\{a,a^2,\dots ,a^{x-1}\}$。那 $a$ 的阶就是 $x-1$。发现这和数论里的定义是一样的！（$a^{x-1}=1$）

6. 循环群。

   对于群 $(G,\ast )$，如果 $G$ 里存在元素 $a$，使得 $<a>=(G,\ast )$，则 $(G,\ast )$ 是循环群，称 $a$ 是生成元。

7. 陪集。

   有一个群 $(G,\ast )$。对任意元素 $b\in G$ 与子群 $(N,\ast )$，记 $bN=\{b\ast a|a\in N\}$ 为 $N$ 的左陪集。右陪集类似定义。

   若任意 $b$，有 $bN=Nb$，称 $(N,0)$ 为 $(G,0)$ 的正规子群。

8. 群同态与群同构。

   两个群 $(A,\oplus ),(B,\otimes )$ 是同态的，当且仅当存在一个从 $A$ 到 $B$ 的映射 $f$，使得任意 $x,y\in A$ 有 $f(x)\otimes f(y)=f(x\oplus y)$。

   两个群是同构的，当且仅当它们同态，且 $f$ 是一一映射。在群论意义下，两个群同构，表示它们完全一样。

9. 置换。对集合 $S$，一个双射 $f:S\to S$ 是 $S$ 的置换。

   常用方括号内两行数表示：

   $$f=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 1& 4\end{array}\right]$$

10. 轮换。每个置换可以等效为若干个独立轮换的复合。

11. 对换。即大小为 $2$ 的轮换。

12. 不动点。即大小为 $1$ 的轮换。

13. 对称群。集合 $T$ 的所有置换构成对称群 $S$。注意 $S$ 只和 $|T|$ 有关。

    对称群是非阿贝尔群。

14. 置换群。置换群是对称群的子群。

15. 群作用。

    直观理解：一个群，常表示一些变换；一个集合，常作为被变换对象。一个变换群和一个被变换对象的集合，共同构成群作用。

    形式化定义：

    对于集合 $X$（元素为 $x_1,x_2,\dots$）与群 $G=(F,\ast )$（$F$ 元素为 $f_1,f_2,\dots$）。
    则左群作用为映射 $F\times X\to X$（$F$ 和 $X$ 的笛卡尔积映射到 $X$）。我们可以认为群作用是一种运算，类似 $f\cdot x_1=x_2$。
    群作用还要符合：$f_1\cdot (f_2\cdot x)=(f_1\ast f_2)\cdot x$。
    注：如果定义为 $X\times F$，称为右群作用。不过在 OI 里不区分这个，后面默认是左群作用。
    注 2：下面在无歧义的情况下把 $f\cdot x_1$ 写作 $f(x_1)$。

    群作用和线段树上的 val 和 tag 很像。val 对应 $X$，tag 对应 $G$。
    但线段树还要求 val 有加法运算，且对 tag × 有分配律。
    同时线段树只要求是半群，不要求是群。例如 "整数，赋值" 可以放到线段树上，但是不是群。

16. 轨道。定义在群作用上。

    直观理解：某元素在所有变换下能变成的所有元素构成的集合。
    形式化：对 $x\in X$，$O_x=\{f(x)|f\in F\}$。

【性质】

【拉格朗日定理】

因为不正规子群太难了，所以我们下面默认是正规子群，也就把左右陪集统称为陪集。下面用 $G$ 指代原群集合，$N$ 指代子群的集合。同时认为讨论限于有限群。

1. 陪集与 $N$ 大小相同。

   对于 $a_i,a_j\in N$（$a_i\ne a_j$），若 $b\ast a_i=b\ast a_j$，则 $b^{-1}\ast b\ast a_i=a_i=b^{-1}\ast b\ast a_j=a_j$，矛盾。

2. 陪集要么等于 $N$，要么和 $N$ 交为空。

   当 $b\in N$，因为子群的封闭性，$bN=N$。

   当 $b\notin N$，反设存在 $b\ast a_i=a_j$。$b\ast a_i=a_j\Rightarrow b\ast a_i\ast a_i^{-1}=a_j\ast a_i^{-1}\Rightarrow b=a_j\ast a_i^{-1}$。根据子群的定义，$b\in N$，矛盾。

3. 所有陪集和 $N$，构成 $G$ 的划分。

   假设原群集合有一个 $k$ 不在所有陪集和 $N$ 中。根据子群定义，$N$ 包含单位元。所以陪集 $kN$ 包含 $k$。因为 $G$ 是有限的，所以这样的陪集不能永远找下去。根据第二条性质，陪集和 $N$ 构成 $G$ 的划分。

于是我们得到了拉格朗日定理：

对于有限群 $(G,\ast )$，其子群 $(H,\ast )$ 满足 $|H|$ 是 $|G|$ 的因数。

【置换群性质】

凯莱定理：$n$ 阶有限群与某个 $n$ 元素对称群的 $n$ 阶子群同构。

证明：
考虑 $G=(S,\ast )$，$|S|=n$。取 $S_1\ast S_{1\sim n}$，记为 $S_{i_1}\sim S_{i_n}$。则 $i_1\sim i_n$ 恰好是 $1\sim n$ 的排列。
（或认为 "$S_1\ast$" 是 $S\to S$ 双射）
记 $x\to i_x$ 这 $n$ 个小映射关系组成一个大的映射 $f_1$。
取 $S_2\ast$ 得来的 $i_1\sim i_n$，组成 $f_2$，同理取 $f_3\sim f_n$。
那么 $\{f_1\sim f_n,\text{复合}\}$ 与 $G$ 同构。