CF868F Yet Another Minimization Problem （四边形不等式 trick）

题意：给定序列，把序列分成 $k$ 段，使每一段相同元素对数之和最小。$n\le {10}^5,k\le 20,a_i\le n$。

容易写出转移方程：$dp[i][j]=\underset{k=1}{\overset{i}{min}}(dp[k-1][j-1]+w(k,i))$，其中 $w(k,i)$ 表示 $a_k\sim a_i$ 的相同元素对数。

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第一想法是 wqs 二分，然后发现 $w(k,i)$ 实在太恶心了，既没办法拆贡献也没办法快速计算。

其次考虑四边形不等式优化。$w(l,r)$ 满足四边形不等式的性质比较显然。

然后考虑到二分队列。遇到了同样的问题：$w(l,r)$ 没办法快速计算，也就没办法快速比较段首和 $i$ 的决策孰优孰劣。

思路卡住了。于是这里有一个新的技巧：类莫队在分治过程中维护 $w$。

考虑用分治的方法做，即枚举 $d=1\sim k$，每一次把 $dp[?][d]$ 求出来。

设当前到 $slv(l,r,posl,posr)$，表示求 $dp[l\sim r][d]$，这一段的最优决策点在 $[posl,posr]$ 里。

按照一般的流程，接下来我们会取 $m=(l+r)/2$，然后枚举 $j=posl\sim m$，找到 $dp[j-1][d-1]+w(j,m)$ 最小的 $j$，令 $dp[m][d]=dp[j-1][d-1]+w(j,m)$ 然后分治计算 $slv(l,m-1,posl,j)$ 和 $slv(m+1,r,j,posr)$。

再次遇到了一样的问题：$w(j,m)$ 难以计算！！！

但是这里我们有解决办法。我们考虑开全局变量 $l,r,cnt[],sum$ 记录当前记录了区间 $[l,r]$ 的 $cnt$ 数组和 $w$。类似莫队。在我们询问 $w(j,m)$ 时，直接暴力挪动左右端点获取答案。

正确性显然，问题是复杂度怎么是对的。

从上一层 $[L,R]$ 的最后一次计算转移到本层 $[L,M]$ 的第一次计算，复杂度是 $O(posR-posL)$ 的。站在 $[L,R]$ 的角度看，无论 $slv(L,M),slv(M,R)$ 干了什么事，它转移到下一层的工作最多是 $O(posR-posL)$ 次移动端点：把当前层端点移动到 $slv(L,M)$ 所需的位置是 $R-L$ 次，再移动到 $slv(M,R)$ 位置也是 $R-L$ 次。

而在一层内部，移动次数总共是 $O(n)$ 的。因为一层内的 $[posl,posr]$ 是不相交的。

所以总复杂度是 $O(n\log n)$。