NOIP 模拟赛：2024-11-25

合集 - 模拟赛合集(21)

1.NOIP 模拟赛：2024-9-232024-09-242.NOIP 模拟赛：2024-9-142024-09-153.NOIP 模拟赛：2024-9-282024-09-294.NOIP 模拟赛：2024-9-302024-10-055.NOIP 模拟赛：2024-10-92024-10-096.NOIP 模拟赛：2024-10-122024-10-127.NOIP 模拟赛：2024-10-152024-10-168.NOIP 模拟赛：2024-10-172024-10-189.NOIP 模拟赛：2024-10-232024-10-2910.NOIP 模拟赛：2024-10-212024-10-2911.NOIP 模拟赛：2024-10-282024-10-3112.NOIP 模拟赛：2024-10-302024-10-3113.NOIP 模拟赛：2024-11-042024-11-1214.NOIP 模拟赛：2024-11-202024-11-2215.NOIP 模拟赛：2024-11-192024-11-2216.NOIP 模拟赛：2024-11-212024-11-2217.NOIP 模拟赛：2024-11-222024-11-2818.NOIP 模拟赛：2024-11-232024-11-28

19.NOIP 模拟赛：2024-11-252024-11-28

20.NOIP 模拟赛：2024-11-262024-11-2821.NOIP 模拟赛：2024-11-272024-11-28

收起

T1：

简单贪心。

T2：

有的$n$间屋子被$n-1$条双向路径连通，构成树结构。其中第$i$个屋子中住着一个种族$c_i$的狼人。

树的一个连通子图中，若其中一个种族的狼人超过了其他种族的总和，它们可以在该连通子图中进行支配。具体而言，记$a_i$为种族为$i$的狼人在连通子图中的个数总和，则支配的条件是存在$k$使得$a_k>\sum _{i\ne k}{a}_i$。

那么，有多少个不同的连通子图会出现支配的情况？答案对998244353取模。

$†$ 连通子图指点集和边集分别为原图点集和边集的子集，且连通的图。子图不同，当且仅当选择的点集和边集至少有一个不完全相同。

考虑对每一种种族各自求一遍答案。对于一个种族，让是这个种族的结点权为 $1$，否则权为 $-1$，即计数有多少个连通子图的权值和为正数。

$dp[i][j]$ 表示 $i$ 的子树内权值为 $j$ 的方案数。$j$ 的范围既是当前种族总个数，又是 $sz[i]$。根据树上背包经典分析，复杂度为 $O(n\cdot \sum cnt[i])=O(n^2)$。

T3：

对一个全排列$a_1,a_2,\cdots ,a_n$，给定$m$并依次做如下操作

• 对$a_1\sim a_m$进行从小到大排序；
• 对$a_2\sim a_{m+1}$进行从小到大排序：
• ……
• 对$a_{n-m+1}\sim a_n$进行从小到大排序：

注意每次排序都改变了$a$序列，每次的$a_i$指上一轮排序后处在$i$位置的数。

我们不知道初始的$a$，只知道排序的最终结果，记做$b_1,b_2,\cdots ,b_n$。求所有可能的初始$a$中，字典序第$k$小的？保证存在$k$个不同的初始$a$。

---

若出现 $b_{i-1}>b_i$，说明 $b_i$ 这个数初始位于 $a_{i+m-1}$，然后可以把 $b_i$ 这个位置删掉。

由此得到一个单调上升的序列 $b^{\prime }$，即求对应 $b^{\prime }$ 的字典序第 $k$ 小的 $a^{\prime }$，把 $a^{\prime }$ 按顺序填回 $a$ 里还没有被确定的位置即可。
一般字典序都是试填法，看填最小的行不行 …… 逐渐增大，每次减去对应方案数。

考虑怎么求方案数。发现 $b_1^{\prime }$ 必然是在 $1\sim m$ 的位置里随便填一个，$m$ 种；$b_2^{\prime }$ 在 $1\sim m+1-pos[b_1^{\prime }]$ 的剩下 $m$ 个位置里选一个，也是 $m$ 种 …… 直到后面的位置不够了，变成 $m-1,m-2,\dots ,1$。

然后不太清楚了 …… 总之是试填法。

---

T4：很少见到这么纯种的人类智慧。

给定正整数$K$，请构造两个01串$S,T$，使得他们恰好有$K$个本质不同的最长公共子序列。

额外给定参数$L$，构造的串必须满足$max(|S|,|T|)\le L$。

考虑对于两个 01 串，记 $g(x,y)$ 为有多少种不同的 LCS，使得尽量取字典序最小的结束位置时，落点恰好是 $(x,y)$。
这是对所有 LCS 不重不漏的分类。

构造初始串 $S=1,T=11$，此时 $g(1,1)=1,g(1,2)=0$。设当前 $\sum g(x,y)=k$，我们希望通过在 $S,T$ 后面增加常数个字符，达到让 $k+1$ 或 $k\times 2$ 量级的效果。这样可以在 $2\log n$ 长度构造出来。

事实上这是可行的，我们增强结论，让所有 $g$ 在 $g(|S|,|T|)=k,g(|S|,|T|-1)=1$，其余位置 $0$。

如果要 $k+1$，可以 $S+0100,T+000$；如果要 $k\to 2k+1$，$S+101000,T+011000$ 即可。