NOIP 模拟赛：2024-11-23

合集 - 模拟赛合集(21)

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假算法轻取 96pts。

T1：

给定一个$n$个结点$m$条边的简单无向图，结点编号$1\sim n$。你需要构造一个结点编号的排列$v_1,v_2,\cdots ,v_n$，满足

• $v_1=1$；
• 对$1<i<n$，至多一个$i$满足要求：点对$(v_i,v_{i+1})$和$(v_i,v_{i-1})$中，一对之间有边直接相连，另一对没有。即对排列中非两端的结点，至多一个和排列中的两侧邻点中恰一个有边直接连接。
  请输出一个满足条件的排列。

"有 $n$ 个人戴了黑白帽子，每人不知道他的帽子是什么色的，怎么排成黑白分明的队伍？"

让每个人插入到当前序列的黑白交界处即可。

本题一样，让每个结点判断与交界处是否有边来决定去左边还是右边。

T2：

数轴上有 $n$个有编号的点，其中在时刻$t=0$时$i$号位于$x_i$ ，并具有初速度$v_i\in \{1,-1\}$（每单位时间的坐标变化）。保证初始位置各不相同。

之后所有点开始运动，如果在时刻$t$，编号为$x,y$的两个点位置重合，且$v_x=1,v_y=-1$，则碰撞在了一起，这时记录一个碰撞事件$(t,x,y)$，并令$v_x,v_y$值互换。如果同时出现多个碰撞事件，可以任意顺序各自独立的结算。

可以发现会出现的碰撞事件$(t,x,y)$是有限的，请找出字典序排序后的第$l\sim r$个事件的$x,y$，保证存在$r$个事件。

$†$ 多元组$(t,x,y)$的字典序指先按第一个元素$t$从小到大排序，$t$相同的按$x$从小到大，$x$也相同的按$y$从小到大。

经典转化：碰撞并不是回头了，而是都继续往前走。

先把所有点按坐标排序。二分 + 双指针可以求出字典序 $l\sim r$ 的事件所属的时间区间 $[tl,tr]$。

容易发现碰撞对象只可能是相邻两个球。同时 $i,i+1$ 的第一次碰撞时间等于 $\le i$ 第一颗右球和 $\ge i+1$ 的第一颗左球相遇的时间（就是碰撞继续走），第二次碰撞时间是 $\le i$ 的第二颗右球和 $\ge i$ 的第二颗左球 ……

我们要找到（第 $i$ 颗左球，第 $i$ 颗右球）这些对里，发生时间在 $[tl,tr]$ 里的。

可以预处理 $lst[i],nxt[i]$ 表示 $i$ 的上一颗右球、下一颗左球。可以暴力向左右跳。复杂度平方。

因为 $>tr$ 可以直接 break，瓶颈在于经过了很多发生时间 $<tl$ 的碰撞。

如何快速找到第一次发生时间 $\ge tl$ 的碰撞？使用 ST 表加速即可。

坑点：最终可能有开头的几个时间字典序 $<l$，因为二分可能会留下一点。

T3：

求构造满足如下条件的$n$长度整数序列$a_1,a_2,\cdots ,a_n$的方案数

• 所有整数的取值范围为$1\sim m$；
• 对$1\le i<n$，以下两个条件至少一个成立：
  • $a_i\le a_{i+1}$；
  • $(a_i\mathrm{mod}{a}_{i+1})>0$。

答案对998244353取模。两个方案不同，当且仅当存在至少一个位置，使两个序列中该位置的数不相等。
$n,m\le {10}^5$。

妙题。对容斥集合直接 DP。

注意到不满足的条件很苛刻。如果 $a_i,a_{i+1}$ 是不满足的，必须 $a_{i+1}$ 是 $a_i$ 的真因数。而连续的真因数 $\log n$ 次就变成 $1$。
因此可以求出 $c[i][j]$ 为：长度 $i$ 的序列以 $j$ 结尾，任意相邻位置不合法的方案数。$i\le 20$ 可以递推。令 $sc[i]=\sum c[i][]$。

既然不合法的情况这么少见，可以考虑容斥。怎么容？平时是 "至少 $0$ 个不满足" - "至少 $1$ 个不满足" + "至少 $2$ 个不满足" - ……，容易发现偶数加奇数减。

我们直接 $dp[i][0/1]$ 表示填前 $i$ 个数，使得有偶数/奇数个位置不满足的方案数。

如何转移？枚举 $i\sim i-j$ 是一段连续不合法段，根据上面的观察有 $j\le 20$。

此时就已经有了 $j$ 个不合法，方案数是 $sc[j]$，如果要贡献到 $dp[i][0]$ 里，后面要有 $jmod2$ 的位置不满足；否则需要 $1-jmod2$ 的位置不满足。

dp[i][0] += sc[j + 1] * dp[i - j - 1][j % 2] % MOD;
dp[i][0] %= MOD;
dp[i][1] += sc[j + 1] * dp[i - j - 1][1 - j % 2] % MOD;
dp[i][1] %= MOD;

复杂度 $O(m\log m+n\log m)$。