NOIP 模拟赛：2024-11-22

合集 - 模拟赛合集(21)

1.NOIP 模拟赛：2024-9-232024-09-242.NOIP 模拟赛：2024-9-142024-09-153.NOIP 模拟赛：2024-9-282024-09-294.NOIP 模拟赛：2024-9-302024-10-055.NOIP 模拟赛：2024-10-92024-10-096.NOIP 模拟赛：2024-10-122024-10-127.NOIP 模拟赛：2024-10-152024-10-168.NOIP 模拟赛：2024-10-172024-10-189.NOIP 模拟赛：2024-10-232024-10-2910.NOIP 模拟赛：2024-10-212024-10-2911.NOIP 模拟赛：2024-10-282024-10-3112.NOIP 模拟赛：2024-10-302024-10-3113.NOIP 模拟赛：2024-11-042024-11-1214.NOIP 模拟赛：2024-11-202024-11-2215.NOIP 模拟赛：2024-11-192024-11-2216.NOIP 模拟赛：2024-11-212024-11-22

17.NOIP 模拟赛：2024-11-222024-11-28

18.NOIP 模拟赛：2024-11-232024-11-2819.NOIP 模拟赛：2024-11-252024-11-2820.NOIP 模拟赛：2024-11-262024-11-2821.NOIP 模拟赛：2024-11-272024-11-28

收起

T1：

当需要对数组重标号时，想清楚哪里要用原编号，哪里要用新编号。

T2：

$n$个人参加THUSC，其中每个人都参加了算法场和工程场两场比赛，第$i$个人的得分分别是$a_i,b_i$。

你希望给所有人进行排名，规则如下:

• 先选定两个正实数$x,y$，计算每一个人的综合得分为$x{a}_i+y{b}_i$；
• 按照综合得分从高到低排序，对于同分选手，你可以在他们之间任意排序。

则共可能得到多少种不同的排名顺序？两种排名顺序不同，当且仅当存在一个人排名不同。 答案对 998244353 取模。
$n\le 1000$。

容易想到固定 $y=1$，得到 $n$ 条直线 $a_{i}x+b_i$。求出这些直线的交点们，去重按 $x$ 排序。

枚举 $x$，统计在 $x$ 处所有交点生效时，所有可能的排名顺序减去与之前交点重复的排名顺序个数。

所有可能的排名顺序很简单。把在 $x$ 处相交的线用并查集合并，每个连通块的大小阶乘之积就是了。

那重复的排名个数呢？（赛时卡在这里了）

只有一种重复！为什么？首先，对于之前的 $x$，当前这些能互相交换线的顺序都是固定的，也就是只有一种排列方式。

T3：

给定长度为 $n$ 的序列 $A$ ，将 $A$ 中元素重排得到了一个新的序列 $B$ ，规则如下:

• 令 $B$ 初始为空，同时维护一个初始为空的小根堆 $T$ ，然后进行以下两类操作各 $n$ 次:
  1. 将当前 $A$ 的第一个元素删除并加入小根堆 $T$ 中;
  2. 将小根堆 $T$ 的堆顶删除并加入 $B$ 的末尾，需要保证 $T$ 非空。

你可以任意合法的顺序排列两类操作，例如$n=4$时使两类的操作顺序为$(1,1,2,1,2,2,1,2)$。则共可能得到多少种不同的 $B$ ? 答案对 998244353 取模。

$1\le n\le 100$。

首先容易想到把 $A$ 弄成一个互不相同的数组，令相同的数越靠后越大即可。

考虑区间 DP。暂定 $dp[l][r]$ 为 $l\sim r$ 排出来的方案数。

观察性质：当序列的最大值出堆的时候，堆一定为空。在堆清空之后的进出堆操作，就都与前面的数无关了。这可以作为划分状态的依据。

因此转移考虑枚举 $a_l\sim a_r$ 的最大值 $mx$ 在哪里。注意如果 $mx$ 初始在 $pos$ 位置，显然它最终只会在 $pos\sim r$ 中。

但是这样无法形成递推，因为枚举了位置之后还是会把最大值考虑进去。所以升维，$dp[l][r][x]$ 表示 $l\sim r$ 中只考虑 $\le x$ 的数的方案数。

T4：

洛谷原题。History Course