CF2039

传送门

A：取 $a_i=2i-1$ 即可。

B：注意到如果有连续三个相邻不同字符，这个长度为 $3$ 的子串满足；如果有相邻两个字符相同，这个长度为 $2$ 的子串满足。否则字符串形如 $ababab\dots$，没有子串满足。

C1：数学太拉了

题意：给定正整数 $x,m$，计数 $y\in [1,m]$ 且 $x\ne y$ 且 $x,y$ 中有至少一个是 $x\oplus y$ 的倍数。（$x\le {10}^6,m\le {10}^{18}$）

分析：

因为 $x,y>0$，所以 $x\oplus y<x,y$，所以 $x\oplus y$ 必定是真因数。

而一个数的真因数 $\le$ 它的 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$，所以要使得 $a$ 是 $b$ 的真因数，$a\le [{\displaystyle \frac{b}{2}}]$，所以 $a$ 至少二进制比 $b$ 少一位。

而当 $y\ge 2\cdot x$ 时，$x\oplus y$ 和 $y$ 的二进制位数相等，所以 $x\oplus y$ 不是 $y$ 的因子；而且此时它比 $x$ 大，也不可能是 $x$ 的因子。

所以：合法的 $y$ 总是 $<2\cdot x$。

因此枚举 $i=1\sim 2x-1$ 检验即可。

C2：数学太拉了

题意：给定正整数 $x,m$，计数 $y\in [1,m]$ 且 $x\ne y$ 且 $x,y$ 中有至少一个是 $x\oplus y$ 的因数。（$x\le {10}^6,m\le {10}^{18}$）

分类讨论。依次考虑 $x\oplus y$ 是 $x,y$ 与 $x,y$ 的因数。

1. $x$ 是 $x\oplus y$ 的因数。记 $p=x\oplus y$，问题转化为求有多少个 $p$ 使得 $x$ 是 $p$ 的因数且 $1\le p\oplus x\le m$。

   异或性质：$p\oplus x\le p+x$。 所以当 $p\le m-x$ 时，$1\le p\oplus x\le m$ 总是满足，只需要保证 $x$ 是 $p$ 的因数即可。这等价于问 $x$ 在 $1\sim m-x$ 里有多少个它的倍数，答案是 $[{\displaystyle \frac{m-x}{x}}]$。

   那对于 $p>m-x$ 的呢？再异或性质：$p\oplus x\ge p-x$，所以当 $p>m+x$ 时，$p\oplus x\le m$ 总是不满足。

   因此这种情况剩下可能合法的 $p$ 只存在于 $(m-x,m+x]$ 里，暴力枚举检验。

2. $y$ 是 $x\oplus y$ 的因数。因为有了上面的观察：$x\oplus y\le x+y$（这限制了异或的范围），所以当 $x<y$ 时，$x+y\le x+y<2y$，这时候 $y$ 要是 $x\oplus y$ 的因数只能 $x=0$，无解。

   所以剩下的情况只有 $x>y$ 的情况，因此枚举 $y=1\sim x$ 检验即可。

3. $x,y$ 都是 $x\oplus y$ 的因数。

   转化：$\mathrm{lcm}(x,y)$ 是 $x\oplus y$ 因数。

   而 $x\oplus y\le x+y$，而 $\mathrm{lcm}(x,y)$ 在 $x\ne y$ 时 $\ge 2max(x,y)$，所以当 $x\ne y$ 时不可能合法。

   检验 $y=x$ 即可。

D:

题意：给定数集 $S$，要求构造一个（或判定无解）字典序最大的 $n$ 长度序列 $\{a_i\}$，使得 $a_i\in S$ 且 $a_{gcd(i,j)}\ne gcd(a_i,a_j)$。（$n,|S|\le {10}^5,a_i\le n$）

$a_{gcd(i,j)}\ne gcd(a_i,a_j)$ 的条件很迷惑。取 $i$ 为 $j$ 的因数，就得出结论：对于任意 $i\mid j$，不能有 $a_i\mid a_j$。

那么这个条件是否是充分的？假设 $a_g=gcd(a_i,a_j)$，其中 $g=gcd(i,j)$，则 $a_g\mid a_i$，与 $a_i\nmid a_j$ 矛盾。所以是充分条件。

法一：贪心法。枚举 $i=1\sim n$，每次都选与前面不干扰的最大数。（赛时想到了，然而没想到上面的结论所以是假复杂度）

实现方法：枚举位置 $i$ 的因数 $j$（均摊 $O(n\log n)$）。然后给数 $a_j$ 打上标记，再从大到小枚举找第一个打标记的即可。

法二：考虑 $i\to ki$ 建立一个 DAG，那么位置 $i$ 能填的数的大小仅与在 DAG 上以 $i$ 开头的最长链长度有关，可以用 DP 求出；因为边的总数是 $O(n\log n)$ 的。

如果你仔细分析，发现这个值等于 $i$ 的各质因数次数之和 $+1$。

E：巧妙 DP 题。

题意：给定初始序列 $a=\{0,1\}$。每次可以将 "当前序列的逆序对数" 插入序列的任意位置，问有多少种可能的 $n$ 长度序列。$n\le {10}^6$。

来自 Byf 的观察：记 $f_i=i\cdot f_{i-1}-1$，答案为 $\sum _{i=1}^n{f}_i$。

解法：

注意到当逆序对数大于序列内任何一个数之后，如果不将它插在末尾，新的逆序对数仍然大于序列内任何一个数。

记 $dp[i]$ 表示当前序列为 $i$ 长度且逆序对数大于序列内任何一个数，能构造出多少种 $n$ 长度的序列。

如果不插入到末尾，$dp[i]\leftarrow dp[i+1]$；否则枚举插入 $j$ 个到末尾，然后随便插入一个在前 $i$ 个里面（$i$ 种方式），$dp[i]\leftarrow i\cdot dp[i+j+1]$。注意可以直接在末尾插到 $n$ 长度。

在求出 $dp[i]$ 后，我们的问题变成第一次逆序对大于序列内任何数的位置在哪里。初始序列是 $\{0,1\}$，也就是只要出现逆序对 $2$ 就可以了。

初始逆序对数为 $0$。逆序对数将一直为 $0$ 直到第一次插入 $0$ 至末尾，此时逆序对数为 $1$。
然后为了保持逆序对不达到 $2$，$1$ 只能一直插入在末尾的那一块。

所以，逆序对 $\le 1$ 的序列必然形如 $0,0,0,\dots ,0,0,1,0,1,1,1,\dots$。

如果最终逆序对数都 $\le 1$，有 $n-1$ 种可能：$0$ 的个数 $1\sim n-1$。

回到问题，我们要枚举 $m$，然后计数长度为 $m$ 的第一次逆序对数 $=2$ 的序列种数。因为逆序对数 $\le 1$ 的必然形如上面的形式，因此长度为 $m$ 的第一次逆序对数 $=2$ 的序列，在长度 $m-1$ 时就是上面的形式，因此只需决策第 $m$ 次的 $1$ 插入哪里。如果中间那个 $1$ 位于 $a_j$，则有 $j-1$ 种方案插入。因此对于序列 $m$ 的方案数就是 $\sum _{j=2}^{m-1}(j-1)={\displaystyle \frac{(m-2)(m-1)}{2}}-1$。

总方案数即为 $n-1+\sum _{m=3}^n({\displaystyle \frac{(m-2)(m-1)}{2}}-1)\cdot dp[m]$。