CF2039
A：取 \(a_i=2i-1\) 即可。
B：注意到如果有连续三个相邻不同字符，这个长度为 \(3\) 的子串满足；如果有相邻两个字符相同，这个长度为 \(2\) 的子串满足。否则字符串形如 \(ababab\dots\)，没有子串满足。
C1：数学太拉了
题意：给定正整数 \(x,m\)，计数 \(y\in [1,m]\) 且 \(x\neq y\) 且 \(x,y\) 中有至少一个是 \(x\oplus y\) 的倍数。（\(x\le 10^6,m\le 10^{18}\)）
分析：
因为 \(x,y>0\)，所以 \(x\oplus y<x,y\)，所以 \(x\oplus y\) 必定是真因数。
而一个数的真因数 \(\le\) 它的 \(\dfrac{1}{2}\)，所以要使得 \(a\) 是 \(b\) 的真因数，\(a\le [\dfrac{b}{2}]\)，所以 \(a\) 至少二进制比 \(b\) 少一位。
而当 \(y\ge 2\cdot x\) 时，\(x\oplus y\) 和 \(y\) 的二进制位数相等，所以 \(x\oplus y\) 不是 \(y\) 的因子；而且此时它比 \(x\) 大，也不可能是 \(x\) 的因子。
所以：合法的 \(y\) 总是 \(< 2\cdot x\)。
因此枚举 \(i=1\sim 2x-1\) 检验即可。
C2：数学太拉了
题意：给定正整数 \(x,m\)，计数 \(y\in [1,m]\) 且 \(x\neq y\) 且 \(x,y\) 中有至少一个是 \(x\oplus y\) 的因数。（\(x\le 10^6,m\le 10^{18}\)）
分类讨论。依次考虑 \(x\oplus y\) 是 \(x,y\) 与 \(x,y\) 的因数。
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\(x\) 是 \(x\oplus y\) 的因数。记 \(p=x\oplus y\)，问题转化为求有多少个 \(p\) 使得 \(x\) 是 \(p\) 的因数且 \(1\le p\oplus x\le m\)。
异或性质：\(p\oplus x\le p+x\)。 所以当 \(p\le m-x\) 时，\(1\le p\oplus x\le m\) 总是满足，只需要保证 \(x\) 是 \(p\) 的因数即可。这等价于问 \(x\) 在 \(1\sim m-x\) 里有多少个它的倍数，答案是 \([\dfrac{m-x}{x}]\)。
那对于 \(p>m-x\) 的呢？再异或性质：\(p\oplus x\ge p-x\)，所以当 \(p>m+x\) 时，\(p\oplus x\le m\) 总是不满足。
因此这种情况剩下可能合法的 \(p\) 只存在于 \((m-x,m+x]\) 里，暴力枚举检验。
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\(y\) 是 \(x\oplus y\) 的因数。因为有了上面的观察：\(x\oplus y\le x+y\)（这限制了异或的范围），所以当 \(x<y\) 时，\(x+y\le x+y<2y\)，这时候 \(y\) 要是 \(x\oplus y\) 的因数只能 \(x=0\)，无解。
所以剩下的情况只有 \(x>y\) 的情况，因此枚举 \(y=1\sim x\) 检验即可。
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\(x,y\) 都是 \(x\oplus y\) 的因数。
转化：\(\mathrm{lcm}(x,y)\) 是 \(x\oplus y\) 因数。
而 \(x\oplus y\le x+y\)，而 \(\mathrm{lcm}(x,y)\) 在 \(x\neq y\) 时 \(\ge 2\max(x,y)\)，所以当 \(x\neq y\) 时不可能合法。
检验 \(y=x\) 即可。
D:
题意：给定数集 \(S\)，要求构造一个（或判定无解）字典序最大的 \(n\) 长度序列 \(\{a_i\}\)，使得 \(a_i\in S\) 且 \(a_{gcd(i,j)}\neq gcd(a_i,a_j)\)。（\(n,|S|\le 10^5,a_i\le n\)）
\(a_{gcd(i,j)}\neq gcd(a_i,a_j)\) 的条件很迷惑。取 \(i\) 为 \(j\) 的因数，就得出结论：对于任意 \(i\mid j\)，不能有 \(a_i\mid a_j\)。
那么这个条件是否是充分的？假设 \(a_g=gcd(a_i,a_j)\)，其中 \(g=gcd(i,j)\)，则 \(a_g\mid a_i\)，与 \(a_i\not\mid a_j\) 矛盾。所以是充分条件。
法一：贪心法。枚举 \(i=1\sim n\)，每次都选与前面不干扰的最大数。（赛时想到了，然而没想到上面的结论所以是假复杂度）
实现方法：枚举位置 \(i\) 的因数 \(j\)（均摊 \(O(n\log n)\)）。然后给数 \(a_j\) 打上标记，再从大到小枚举找第一个打标记的即可。
法二：考虑 \(i\rightarrow ki\) 建立一个 DAG，那么位置 \(i\) 能填的数的大小仅与在 DAG 上以 \(i\) 开头的最长链长度有关，可以用 DP 求出；因为边的总数是 \(O(n\log n)\) 的。
如果你仔细分析，发现这个值等于 \(i\) 的各质因数次数之和 \(+1\)。
E：巧妙 DP 题。
题意：给定初始序列 \(a=\{0,1\}\)。每次可以将 "当前序列的逆序对数" 插入序列的任意位置，问有多少种可能的 \(n\) 长度序列。\(n\le 10^6\)。
来自 Byf 的观察：记 \(f_i=i\cdot f_{i-1}-1\)，答案为 \(\sum_{i=1}^n f_i\)。
解法：
注意到当逆序对数大于序列内任何一个数之后，如果不将它插在末尾，新的逆序对数仍然大于序列内任何一个数。
记 \(dp[i]\) 表示当前序列为 \(i\) 长度且逆序对数大于序列内任何一个数，能构造出多少种 \(n\) 长度的序列。
如果不插入到末尾，\(dp[i]\leftarrow dp[i+1]\)；否则枚举插入 \(j\) 个到末尾，然后随便插入一个在前 \(i\) 个里面（\(i\) 种方式），\(dp[i]\leftarrow i\cdot dp[i+j+1]\)。注意可以直接在末尾插到 \(n\) 长度。
在求出 \(dp[i]\) 后，我们的问题变成第一次逆序对大于序列内任何数的位置在哪里。初始序列是 \(\{0,1\}\)，也就是只要出现逆序对 \(2\) 就可以了。
初始逆序对数为 \(0\)。逆序对数将一直为 \(0\) 直到第一次插入 \(0\) 至末尾，此时逆序对数为 \(1\)。
然后为了保持逆序对不达到 \(2\)，\(1\) 只能一直插入在末尾的那一块。
所以，逆序对 \(\le 1\) 的序列必然形如 \(0,0,0,\dots,0,0,1,0,1,1,1,\dots\)。
如果最终逆序对数都 \(\le 1\)，有 \(n-1\) 种可能：\(0\) 的个数 \(1\sim n-1\)。
回到问题，我们要枚举 \(m\)，然后计数长度为 \(m\) 的第一次逆序对数 \(= 2\) 的序列种数。因为逆序对数 \(\le 1\) 的必然形如上面的形式，因此长度为 \(m\) 的第一次逆序对数 \(=2\) 的序列，在长度 \(m-1\) 时就是上面的形式，因此只需决策第 \(m\) 次的 \(1\) 插入哪里。如果中间那个 \(1\) 位于 \(a_j\)，则有 \(j-1\) 种方案插入。因此对于序列 \(m\) 的方案数就是 \(\sum_{j=2}^{m-1}(j-1)=\dfrac{(m-2)(m-1)}{2} -1\)。
总方案数即为 \(n-1+\sum_{m=3}^{n}(\dfrac{(m-2)(m-1)}{2}-1)\cdot dp[m]\)。
