NOIP 模拟赛：2024-11-20
T1：
本题中令记号 \(a ^{\wedge} b\) 表示幂运算 \(a^b\) 。一个幂运算代数式可以通过加括号改变所有运算符号的运算顺序，否则从左到右运算，例如 \(a ^{\wedge} ((b ^{\wedge} c)^{\wedge} d) ^{\wedge} e\)表示\(\displaystyle (a^{((b^c)^d)})^e\)。
对一个代数式 \(a_1\ ^{\wedge}\ a_2 \ ^{\wedge} \ \cdots \ ^{\wedge}\ a_n\) ，你可以任意加括号，求能得到的最小运算结果，你只需要输出最小结果对 998244353 取模的值。
容易想到把第一个 \(1\) 会把后面的无效，而对于前面的数，因为此时 \(ab\le a^b\)（\(a,b\ge 2\)），肯定不加括号最优。
T2：
一棵\(n\)个结点的树，每个结点\(u\)有给定的点权\(a_u\)。你需要为每一条边赋一个\([1,m]\)范围内的整数边权，要求每个结点\(i\)的邻边边权的中位数不超过\(a_i\)。求树的边权和的可能最大值，若无满足条件的赋权方案则输出-1。
\(\dagger\) 本题中，认为\(k\)个数的中位数为从小到大的第\(\displaystyle \Big\lfloor \frac{k}{2} \Big\rfloor+1\)个数。
容易发现每条边只会取 \(a_u,a_v,m\) 中的一个。\(dp[i][0/1/2]\) 表示 \(i\) 的子树，\(i\rightarrow fa_i\) 的边权取 \(a_u/a_v/m\)。
T3：
棋盘
题目描述
对一个\(n\times m\)的01矩阵，有一些位置的数字是确定的，另一些不确定。你需要填充不确定的位置的数字，要求其不能包含如下两种\(2\times 2\)子矩阵
请判断能否按要求填充，若能则给出任意一种方案。
先把能直接确定的填了。
如果还有括号，我们采取这样一种方案：随便挑一个，然后把能由它直接确定的都填了；循环往复。断言这不会有问题。
证明：
假设当前局面开始时不存在已经不合法的。当填了一连串问号后，若导致矛盾，必然是恰好填进了一个 \(2\times 2\) 的不合法子矩阵，但是这应该在之前就确定了的。
T4（未完善）：
一个\(2n\)长度的序列\(a\)，下标范围\(1\sim 2n\)，需要保证初始时值为\(1\sim n\)的元素各两个。
之后，开始反复执行如下操作，直到操作后序列\(a\)不发生变化：
- 从前到后考虑每一个位置\(i\)，若\(a_i>0\)且此时值为\(a_i\)的元素并非唯一（即存在\(j > i\)使得\(a_j=a_i\)），则将\(a_i\)减小1，然后结束本次操作。
容易发现\(a\)最终一定会有恰好\(n\)个位置非0。现在给出\(n\)个非0位置的下标，求可能的不同初始序列\(a\)的个数，答案对998244353取模。
显然应该从后往前考虑，因为前面的数不会影响后面的操作。
容易想到最后会留下一个 \(1\sim n\) 排列。证明考虑当前序列的最大数 \(x\)，最靠后的 \(x\) 一定会留下来，前面的总会变成 \(x-1\)；然后在所有剩下的 \(x-1\) 中，又会留下最后一个 ……
举个例子观察一下，比如最后留下了 \(002013\)，最后一个 \(0\) 为了变成 \(0\)，只能填 \(1\)；倒数第二个 \(0\) 填 \(1\sim 3\)，第一个 \(0\) 也是填 \(1\sim 3\)。注意到无论后面的 \(0\) 填什么，都会导致前面的 \(0\) 少一种可能。而这个 "可能" 就是这个 \(0\) 后面从 \(1\) 开始最多可以连续几个数都有。
记当前位置从 \(1\) 开始连续个数为 \(x\)，在各个位置的 \(x\) 组成一个序列 \(\{x_i\}\)。而 \(x_i\) 相同的初始序列，最终的方案数也一样，这可以作为 DP 中将不同方案统一计算的手段。
粗略考虑 \(dp[i][j]\) 为填了 \(i\sim 2n\)，从 \(1\) 连续能到 \(j\) 的方案数。如果 \(i-1\) 最终留下 \(0\) 是好求的，只需要乘以一个系数（\(j\) 减去后面 \(0\) 的个数）即可；但如果不是 \(0\)，我们为了知道填了它会让 \(1\) 能连续到哪里，也需要知道后面所有填过的位置，这就不可避免走向状压。
这里有一个经典的 trick：当一个东西很重要而无法确定时，不妨不确定，当真的要用到时再拿出来。
放在这题里，也就是 \(dp[i][j]\) 只考虑 \(1\sim j\) 的填法。只有当 \(dp[i][j]\) 试图向 \(dp[i][\ge j+2]\) 转移，我们才把后面空着没填的 \(1\) 取出若干个填了。
但是 "取出若干个填了" 的方案数到底是多少？这里不清楚 …… 而且如果后面填了两个 \(a\)，前面还要避免使用 \(a\)，比较复杂。目测还要一个预处理 DP。
