LOJ2462 完美的集合（2018集训队互测）

题意：

给定一棵树，每个点有重量 $w_i$ 和价值 $v_i$，每条边有长度 $c_i$。
定义一个完美的点集 $S$：$S$ 连通、$S$ 总重 $\le M$ 且 $S$ 的价值最大。（即在所有连通且总重 $\le M$ 的集合中，$S$ 的价值最大）

定义一个结点 $x$ 能测试结点 $y$，当且仅当 $dist(x,y)\le {\displaystyle \frac{Max}{v_y}}$。定义一个结点 $x$ 能测试一个点集 $S$，当且仅当 $x\in S$ 且 $x$ 能测试 $S$ 中所有结点。

小 A 要从所有完美的集合中选 $K$ 个构成方案。定义一个方案合法：存在一个结点 $x$ 能测试所有被选的集合。

问有多少个合法方案。对 $5^{23}$ 取模。

$n\le 60,M\le {10}^4,c_i,w_i,v_i,K\le {10}^9,Max\le {10}^{18}$。

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一个显然的结论是能 test 一个结点的结点是一个连通块（一棵树）。但是这有什么用？

树上，点个数 - 边个数 = 1.

定义 $AN{S}_1=\sum _x\text{能被 x test 的 k 个集合选法总数}$，$AN{S}_2=\sum _{(u,v)\in T}\text{能被 u,v 同时 test 的 k 个集合选法总数}$。则 $AN{S}_1-AN{S}_2$ 即为答案。

为什么？考虑对于一组固定的 $S_1\sim S_k$，能 test 它们的 $x$ 是一个连通块。对于这样一组集合选法，我们只希望计数 $1$，所以刚好点数 - 边数 = 1。交换一下求和顺序和 $AN{S}_1-AN{S}_2$ 等价了。

转化为两个问题：

1. 固定 $x$，使得 $x$ test 的集合选法有几种。

2. 固定 $u,v$，使得 $u,v$ 都 test 的集合选法有几种。

因为 $x$ 固定了，所以每个结点能不能选也确定了，这就是为什么上面要搞那一堆东西。

第二种是类似的，只考虑第一种。

为了判定集合是否完美，首先需要知道所有总重 $\le M$ 的集合最大权值是多少。这可以用 dfs 序 DP 做：枚举一个根，然后 $O(nm)$ 做。复杂度 $O(n^{2}m)$。

然后我们再来一次 dfs 序 DP 求有几种选法。$dp[i][j]$ 表示当前 dfn = i，总重 $j$ 的最大价值。$cnt[i][j]$ 表示取到 $dp[i][j]$ 的选法总数。看 $dp[n+1][?]$ 是否是上面求出的最大价值，决定 $cnt[n+1][?]$ 是否贡献。

看似已经大功告成，但还有一个问题：怎么对 $5^{23}$ 取模？？？

可以使用 exLucas 定理，戳这里