P8290 填树 题解

题意：

给定一棵树，第 $i$ 个点的赋值范围是 $[L_i,R_i]$。计数：选择一条路径，将路径上的点赋值，使得极差 $\le K$；并求出每种这样赋值方案的权值和。

$n\le 200$，其余 $\le {10}^9$。

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看见极差，考虑枚举最小值 $x$，然后统计 $[x,x+k]$ 的答案。

思路很简单，但是下一个问题是：$x$ 的取值范围高达 ${10}^9$，不可能单独枚举具体的值。

一般推到这里发现复杂度和值域有关就可以考虑转战其他思路了。但是这题就是不一样，根本没有其他思路，所以继续推。

这时候我们可以分段处理 $x$！就像高斯函数的分段性一样，如果每一段 $x$ 的答案有相似性，就可以。

当取值范围很大的时候，尝试分段。

怎么分段？要使得每一段 $x$ 的答案是相似的的，肯定要让每个点的取值范围在这段 $x$ 中是相似的。那么一个点的取值范围是什么？$[L_i,R_i]\cap [x,x+k]$。

要让 $[L_i,R_i]\cap [x,x+k]$ 有相似性，想到在 $L,R,L-k,R-k$ 处分段。
这样，在分出的五段内部，点 $i$ 的取值范围都是仅和 $x$ 有关的（而不是和 $x,L_i$、$x+k,R_i$ 的大小关系也有关）或和 $x$ 无关。

这样分段得到 $O(n)$ 个段，于是可以计算每个段的答案再求和。

勿忘初心：对于一个段的 $x$，我们要统计最小权值为 $x$ 的答案。记 $S(l,r)$ 为权值在 $[l,r]$ 之间的答案，我们所要求的就是 $S(x,x+k)-S(x+1,x+k)$。

考虑 $S(x,x+k)$ 怎么求。因为 $S(x+1,x+k)$ 形式类似，只需考虑一个就行。

因为在一个段内，所以我们可以把每个点的取值范围都确定下来，形如 $[ax+b,cx+d]$（这就是分了段的好处，上面没分段需要带 $min/max$ 才能表示）。
我们发现：每个点的取值可能个数是关于 $x$ 的一次函数。所以对于这一段的每一个 $x$，它作为参数给树赋值的方案数都可以看作一个相同的多项式。

如果求出了这个多项式 $f(x)$，设当前这一段为 $[L,R]$，则这一段的总方案数就是 $f(L)+f(L+1)+\cdots +f(R)$。

就算讲过然而到这里又卡住了 …… 果然是数学太菜了吧

因为每个点取值个数都是一次函数，所以 $f$ 是一个 $n$ 次多项式。令 $g(x)=\sum _{i=L}^{x}f(i)$，则 $g(x)$ 是 $n+1$ 次多项式。

关于对 $g(x)$ 是 $n+1$ 次多项式的证明：CF622F The Sum of the k-th Powers 的参考
（粗略的说，$g$ 的差分是 $n$ 次多项式，所以 $g$ 是 $n+1$ 次多项式）

既然 $g$ 是 $n+1$ 次多项式，而 $n$ 很小只有 $200$，我们直接使用拉格朗日插值法，取 $n+2$ 个点值就能求出 $g(R)$，即 $f(L)+\cdots +f(R)$。
（取 $l\sim min(l+n+2,r)$ 的 $f()$ 值做前缀和即为 $g$ 在对应处的点值）

好的，我们现在只剩最后一个问题：当 $x=x_0$ 时，怎么求 $f(x)$。
当 $x$ 确定了，每个点的点权取值范围（进而方案数）也就确定了。

$dp[x]$ 表示 $x$ 子树内选一条端点为 $x$ 的路径并确定路径上点权的方案数。计算 $dp[x]$ 时采用树上背包合并子树的方式，可以在合并子树时统计所有 LCA 为 $x$ 的路径贡献的方案数。
方案点权和也可以类似计算。

参考资料