P4765 The Imp

传送门

发现 $nk$ 可行，猜测是 $O(nk)$ 的 DP。

容易想到设计 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品，允许恶魔使用 $j$ 次魔法的最大价值。

但是这样转移是有后效性的，因为恶魔可能在只考虑前 $i$ 个物品的时候 与 只考虑前 $j$ 个物品的时候 对于某个物品是否要使用魔法的决策不同。

这种情况下一种办法是考虑贪心，把 DP 的顺序确定下来。

比如这题，我们断言：最优的买物品的顺序一定是按 $v_i$ 升序购买。

证明：对两个物品 $(v_1,c_1),(v_2,c_2)$，假设 $v_1<v_2$。$v_1,v_2$ 的顺序的结果是 $min(v_1-c_1,v_2-c_1-c_2)$，$v_2,v_1$ 的顺序结果是 $min(v_2-c_2,v_1-c_1-c_2)$。

因为 $v_1<v_2$，所以 $min(v_2-c_2,v_1-c_1-c_2)=v_1-c_1-c_2<min(v_1-c_1,v_2-c_1-c_2)$。所以前者总是比后者更优。证毕。

把物品按 $v$ 升序排序。按 $n\to 1$ 的顺序递推即可。（因为当恶魔决定要不要对 $i$ 施法，与其相关的是 $i+1\sim n$ 的情况）