NOIP 模拟赛：2024-11-11

T1：

法一：$O(n^2)$ 的 DP。$dp[i][j][0/1]$ 表示在 $i$ 的子树内染色，$i$ 是红/黑，使得每个要求的结点的黑点个数都等于 $j$。

法二：$O(n)$ 的神秘做法。取出最浅的被要求结点，把深度 $\le$ 它的都染成黑色，其余点都染成红色。

T2：

对于一个元素属于 $[0,2^m)$ ，且互不相同的长度为 $n$ 的整数序列 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$，定义它的特征序列为序列 $p_0,p_1,\cdots ,p_{2^m-1}$，其中 $p_i$表示一个$1\sim n$范围的下标，使得 $a_{p_i}$ 与 $i $\mathrm{的}\ast \ast \mathrm{异}\mathrm{或}\ast \ast \mathrm{值}\mathrm{最}\mathrm{大}，\mathrm{即}$p_i = \arg \max_{(1\le j\le n)}\ a_j ⊕ i$，其中 $\oplus$ 为异或操作。

小 D 写出了一个满足要求的序列 $a$，并求出了它的特征序列 $p$。不幸的是，小 D 把原序列弄丢了，而只剩下了特征序列 $p$。小 D 想要知道有多少满足要求的原序列 $a$ 可以得到这个特征序列 $p$。因为答案可能很大，输出答案对 ${10}^9+7$ 取模的结果即可。

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容易想到从高到低，每次确定一个位。

对于 $p[l\sim r]$，如果左半边和右半边泾渭分明，则左半边涉及的 $a$ 最高位都是 $1$，右半边涉及的 $a$ 最高位都是 $0$，只有一种可能。然后各自递归进左右。

如果左半边的 $a$ 和右半边完全相同，那这些 $a$ 最高位取 $0/1$ 都行，两种可能，然后递归进一边。

其他情况，无解。

但是有一种特殊情况无解是未被考虑的：如果有一个 $a$ 没有在任何 $p$ 出现，无解。

T3：

这个神秘的操作就是循环左移。不过这个操作是什么没什么关系。

发现如果小 Y 决定在第 $i$ 次操作之后左移，其对 $x$ 的影响和 $x$ 是什么无关，只和 $a_1\sim a_m$ 有关：可以求出一个数 $t_i$，表示如果小 Y 决定在第 $i$ 次之后左移，$x$ 经过所有操作之后得到的答案是 $x⨁t_i$。

把所有 $t_i$ 插入一个 01-Trie 里，然后搜索。对于一个叶子，它的价值是从根到它的路径上只有一个儿子的结点对应的 $2$ 的幂的和。例如如果 "从根到它的路径上只有一个儿子的结点" 有对应 $2^4,2^1,2^0$ 的结点，那它的权值就是 $16+2+1=19$。

小 D 可能的最大价值就是叶子结点最大权值，方案数就是有多少个叶子取到这个最大值。

T4：

原题

做法和第一篇题解相同。