NOIP 模拟赛：2024-11-6
T1：
给出数组 \(f[1\sim m]\)，表示 "长度 \(i\) 的 LIS 的末尾最小元素"（也就是原序列的 LIS 长度为 \(m\)）。构造一个长度 \(n\) 值域 \(k\) 的原序列满足 \(f\) 的限制，或判定无解。
一种显然的构造方式：把 \(f\) 数组整个放到原序列最后 \(m\) 个，然后从开头从大往小填。先不断填 \(k\)，如果发现再填就会把对应长度的 \(f\) 破坏掉，就开始填 \(k-1\) ……
T2：
给定一棵树，初始有棋子在根结点。两人轮流操作，A 可以把某叶子染黑，B 可以把棋子挪到相邻结点。问最优策略下，B 能否把棋子挪到一个非黑色的结点。
\(dp[i]\) 表示当前棋子在 \(i\)，往 \(i\) 的子树里走，A 至少提前染黑多少个叶结点才能保证赢。可以 \(O(n)\) DP。同时注意 \(dp[i]\leftarrow max(dp[i], 0)\)。
T3：
对于一个字符串 \(s\)，定义操作 \(f(s,ch)\)：在 \(s\) 的每个空里都插入一个 \(ch\)。
给定一个操作序列 \(c_1\sim c_n\)，问 \(f(f(\cdots f(\emptyset,c_1),c_2),\cdots)\) 有多少个本质不同的子序列。
反向考虑一种操作 \(f'(s,ch)=s+ch+s\)，这样操作等价于 \(c_n\sim c_1\) 做一遍。
令 \(f[x][y]\) 表示当前字符串有多少个子序列以 \(x\) 开头，且末尾加上 \(y\) 之后就不再是子序列。
当两个字符串 \(s_1,s_2\) 合并为 \(s\) 时，其 \(f\) 的变化：\(f_{s}[x][y]=\sum_{k}f_{s_1}[x][k]\cdot f_{s_2}[k][y]\)。（其实就是矩阵乘法的形式）
\(f'\) 可以看作两次字符串合并。
为了方便，给字符集添加一个不存在的字符 #，\(f[x][27]\) 记录了所有以 \(x\) 开头的子序列个数。
总共 \(2n\) 次合并，一次合并 \(27^3\)，总复杂度 \(O(n\times 27^3)\)。
T4：
给定一个 \(2\times n\) 的网格图，第一行的第 \(i\) 个点和第二行的第 \(p_i\) 个点有连边。\(p_i\) 构成一个排列。删掉第 \(i\) 条边的代价为 \(w_i\)，同时会把当前所有与它相交的边一起删掉。问删光的最小代价是多少。\(n\le 2\times 10^5\)。
一个观察是，如果最终选择的边是 \(i_1<i_2<\cdots<i_k\)，则 \(p_{i_1}<p_{i_2}<\cdots<p_{i_k}\)。同时 \((i_x,i_{x+1})\) 之间 不存在数 \(w\) 使得 \(p_{i_x}<p_w<p_{i_{x+1}}\)。
为了方便，不妨额外建立 \(p_0=0,p_{n+1}=n+1\) 两条无代价的边。
由此导出一个 DP：\(dp[i]\) 表示考虑前 \(i\) 条边全部删光的最小代价，强制 \(i\) 删。转移则枚举 \(j<i\) 为上一条决定删的边。
这个复杂度是 \(O(n^3)\) 的。
分治，先递归进左半边求出左半边的 DP 值。然后考虑左半边某个点作为右半边某个点的前置状态做的贡献。再递归进右半边求出右半边的 DP 值。
问题在于中间的。把左右点取出，各自按照 \(p\) 排序。同时维护左右两个单调栈，左边的单调栈保证 \(i\) 递减，右边的单调栈保证 \(i\) 递增。左边的单调栈保证了都有相交，可以用来更新；右边的单调栈保存了所有可能使得不能更新的可能性，即所有会限制左边点更新的点。
两个指针初始指向左右数组的开头，每次从两个指针中取出 \(p\) 较小的更新：
-
若取出左边的点 \(x\)，则在 \(p_x\) 的位置上标记一个 \(dp[x]\)。（在 pop 的时候把对应位置标记为 \(+\infty\)）
-
若取出右边的点 \(x\)，先 pop，假设此时栈顶的点第一行 \(=y\)，则查询 \((p_y,p_x)\) 这个区间内所有标记的最小值，然后把 \(x\) 加入栈。
用一个线段树即可。
复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。
