P3780 苹果树 题解

传送门

夏天近了，又到了恋爱的季节，小Q家门前的苹果树上结满了红红圆圆的苹果。

这株苹果树是一个有着$n$个结点的有根树，其中结点被依次编号为$1$至$n$。$1$号结点为根，其余每一个结点的父结点一定是某个编号较小的结点。每一个结点上都有一些苹果，第$i$个结点上有$a_i(a_i>0)$个苹果，每取走其中一个苹果就可以得到$v_i(v_i>0)$的幸福度（若在这个结点取走$k\le a_i$个苹果，则可以收获$k{v}_i$的幸福度）。如果在一个结点取走了至少一个苹果，则必须要在其父结点处取走至少一个苹果。

现在，给定正整数$k$，请从树上取走若干苹果。如果总计取走了$t$个苹果，且所有取了至少一个苹果的那些结点的最大深度为$h$（这里规定根结点的深度为$1$），则要求$t-h\le k$。问最大可以收获多少的幸福度？（这些幸福度全都归属于恋爱中的小Q。）

多组数据，$T\le 5,n\le 2\times {10}^4,k\le 5\times {10}^5,nk\le 25\times {10}^6,a_i\le {10}^8,v_i\le 100$。

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选一个包含根的连通块，$t-h\le k$，最大价值。算法明显是 $O(nk)$ 的。

【简化版】

因为 $t-h\le k$ 这个条件过于阴间了，尝试解决简化版 $t\le k$。

【$a_v=1$】

即使是简化版，也先考虑解决 $a_v=1$ 的特殊情况。这种情况，每个结点只有选和不选两种情况。

采用 dfn 序 DP。$dp[i][j]$ 表示目前考虑完 $dfn\le i-1$ 的结点（$i$ 待定），已经选了 $j$ 个结点，且强制 $i$ 的祖先们都选了，最大权值是多少。

刷表法转移，考虑 $i$ 选不选。若 $i$ 选，转移到 $dp[i+1][j+1]$；若 $i$ 不选，记 $big[x]$ 为 $x$ 子树中 dfn 的最大值，转移到 $dp[big[i]+1][j]$。

答案取 $maxdp[n+1][0\sim n]$。状态 $O(nk)$，转移 $O(1)$，总共 $O(nk)$ 的复杂度。

【$a_v$ 任意】

然后解决简化版的一般情况。状态描述不变，考虑怎么优化转移过程。

先考虑朴素的转移是怎么做的。若选 $0$ 个，转移到 $dp[big[i]+1][j]$；否则 $dp[i][j]+w_i\times c\to dp[i+1][j+c]$，要求 $c\ge 1$。

不选的情况不用动，只需要优化选的情况。

令 $g_j=\underset{1\le j-c\le a_i,c\ge 1}{max}\{dp[i][c]+w_i\cdot (j-c)\}=w_i\cdot j+\underset{1\le j-c\le a_i,c\ge 1}{max}dp[i][c]-w_i\cdot c$。把 $dp[i][c]-w_i\cdot c$ 视作 $f[c]$，就是经典的滑动窗口问题，可以 $O(k)$ 求出 $g_0\sim g_k$。
然后用 $g_k$ 转移 $dp[i+1][k]$。

还是 $O(nk)$ 的。

【原版】

$h$ 可以看作是 "允许让一条链上的点免费取一个"。

【$a_v=1$】

新建一个 dfn2 序，和上面的 dfn 对儿子的访问顺序完全相反。然后新建一个 $dp2[][]$ 按照 dfn2 的顺序 DP，状态定义和 $dp[][]$ 一样。

在求出两个数组之后，枚举结点 $v$ 为 "免费链" 的最下端结点，枚举 $j1$ 为 "dfn 比 $v$ 小的选的个数"，$dp[v][j1]+dp2[v][j2]+w_v$ 即为 $v$ 的最大可能贡献。其中 $j2$ 满足 $j1-(d[v]-1)+j2-(d[v]-1)=k$。
之所以加上 $w_v$，是因为两个状态定义里 $v$ 都是待定的，所以在最后把这个免费的 $v$ 的权值加上。

【$a_v$ 任意】

这里不能按上面做的原因，是 $v$ 的祖先可以选不止一个，在 $dp[v]$ 中是一种选法，在 $dp2[v]$ 中又是不同的选法，情况不同当然不能直接合并。

那能不能让 $v$ 的祖先的 $a=1$ 呢？就相当于除了叶子结点的 $a$ 都等于 $1$。

事实上是可以的，我们拆点，若 $a_i>1$，给 $i$ 额外拆出一个结点 $new$ 作为儿子，$a[new]=a[i]-1,w[new]=w[i]$ 然后 $a[i]\leftarrow 1$。这是等价的。

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题解区第一篇是按照后序遍历的 dfn 写的，本质相同。