P5298 Minimax 题解

传送门

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小 $C$ 有一棵 $n$ 个结点的有根树，根是 $1$ 号结点，且每个结点最多有两个子结点。

定义结点 $x$ 的权值为：

1.若 $x$ 没有子结点，那么它的权值会在输入里给出，保证这类点中每个结点的权值互不相同。

2.若 $x$ 有子结点，那么它的权值有 $p_x$ 的概率是它的子结点的权值的最大值，有 $1-p_x$ 的概率是它的子结点的权值的最小值。

现在小 $C$ 想知道，假设 $1$ 号结点的权值有 $m$ 种可能性，权值第 $i$ 小的可能性的权值是 $V_i$，它的概率为 $D_i(D_i>0)$，求：

$$\sum _{i=1}^{m}i\cdot V_i\cdot D_i^2$$

你需要输出答案对 $998244353$ 取模的值。

$n\le 3\times {10}^5$。

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这个式子实在太奇怪了，考虑直接求每一种的概率而不是变形式子。
首先对权值离散化一下。

记 $f_x[i]$ 表示 $x$ 取值为 $i$ 的概率。

1. 若 $x$ 是叶子，$f_x[a[i]]=1$，其余 $0$。

2. 若 $x$ 仅有一个儿子，直接继承那个儿子的答案。

3. 若 $x$ 有两个儿子，记为 $c_1,c_2$。对于 $f_x[i]$：

   1. $i$ 在 $c_1$ 子树内，概率：
   $$f_{c_1}[i]\cdot (p_x\sum _{j=1}^{i-1}{f}_{c_2}[j]+(1-p_x)\sum _{j=i+1}^m{f}_{c_2}[j])$$
   2. $i$ 在 $c_2$ 子树内，概率：
   $$f_{c_2}[i]\cdot (p_x\sum _{j=1}^{i-1}{f}_{c_1}[j]+(1-p_x)\sum _{j=i+1}^m{f}_{c_1}[j])$$

转移方程写出来了，如何优化两个儿子的转移？

发现这是可以用线段树合并优化的。
具体而言，当位于结点 $u$ 合并完时，让第 $i$ 个叶子结点保存 $f_u[i]$。

如何合并两个儿子的线段树得到 $u$ 的？设当前合并到两棵线段树的根位于 $L,R$，当前对应的区间是 $[lx,rx]$。

1. 若 $L,R$ 均非 $0$，递归进入 $L,R$ 的左儿子和右儿子合并，然后 pushup。

2. 若 $L\ne 0,R=0$，相当于 $f_{c_1}[lx\sim rx]=0$，所以第一条转移方程没用了（$f_{c_1}[i]=0$），而对于第二条转移方程，我们需要知道对每个 $i\in [lx,rx]$ 都知道 $p_x\sum _{j=1}^{i-1}{f}_{c_1}[j]+(1-p_x)\sum _{j=i+1}^m{f}_{c_1}[j]$。

   因为 $f_{c_1}[lx\sim rx]=0$，且 $i\in [lx,rx]$ 所以这个东西等于 $p_x\sum _{j=1}^{lx-1}{f}_{c_1}[j]+(1-p_x)\sum _{j=rx+1}^m{f}_{c_1}[j]$。我们惊奇地发现这个东西对所有 $i\in [lx,rx]$ 是相等的，而且可以在线段树合并下传参数时维护：额外记录两个参数 $L1,R1$，$L1=\sum _{j=1}^{lx-1}{f}_{c_1}[j]$，$R1=\sum _{j=rx+1}^m{f}_{c_1}$。

3. 若 $L=0,R\ne 0$，是对称的，记录参数 $L2,R2$ 即可。

总复杂度 $O(n\log n)$。