NOIP 模拟赛：2024-10-30

合集 - 模拟赛合集(21)

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收起

T1：

一场比赛一共有$n$位选手和$m$道题目，其中你是第$1$位选手。你现在知道了每位选手通过了哪些题目。
你可以调整题目的顺序，然后给题目赋予一个分值，使得第$i$道题目的分值是$2^i$。
你想知道能否通过调整题目的顺序，使得你的成绩恰好是第二高的。
保证不存在两个选手的通过的题目集合是一样的。

多组数据。
$T\le 200,n,m\le 400$

---

若有至少两个超集，不行。
若有恰好一个超集，可以。

否则枚举哪个比 $1$ 大，假设是 $i$。然后枚举 $i$ 中一个是 $1$，且 $1$ 中不是 $1$ 的位，若除了 $1,i$ 以外的数这一位都是 $0$，可行。
如果找不到，不可行。

直接做是 $O(T\cdot n^{2}m)$ 的，用 bitset 优化可以除以 $w$。

T2：

给定 $n\times m$ 的平面和 $k$ 个点。求一条路径，从 $x=0$ 的某个点去 $x=m$ 的某个点，最大化与上下边界、点的距离的最小值。
$k\le 7000$。

---

显然是二分，然后能到的点之间连边，如果有一个连通块卡住了上下界就无解。否则就有解。
但是问题在于可能的边太多了。

法一：充分发扬人类智慧，按 $x,y,x+y$ 排序后各取 $50$ 个点连边。

法二：Prim 算法。

T3：

一共有$n$个仓库，第$i$个仓库里面一共有$f_i$个箱子，第$i$个仓库和第$i+1$个仓库的墙的高度是$h_i$。同时，你可以随身带任意多个箱子。
现在假设你在$i$仓库，你身上带着$x$个箱子，当前仓库里面$y$个箱子，你可以做这些操作。

1. 拿起一个箱子，也就是使$x$加一，$y$减一，其中$y$要大于$0$。
2. 放下一个箱子，也就是使$y$加一，$x$减一，其中$x$要大于$0$。
3. 移动到相邻的仓库，需要满足当前仓库里面的箱子个数不小于与相邻仓库的墙的高度。比如从$i$移动到$i+1$，那么要求$y\ge h_i$。

你可以执行上述操作任意多次。
现在你想知道，如果一开始在$i=1\sim n$仓库，你想要访问遍所有的仓库，那么一开始需要至少随身带多少个箱子。

$n\le 5000$。

---

又是区间 DP，一样不会做。

数据范围明显 $O(n^2)$ 的 DP。

$dp[l][r][0/1]$：已经访问了 $[l,r]$ 的区间，最终位于 $l/r$，要访问其他仓库，当前至少有多少个箱子在手。

注意这个定义：我们不考虑 $l\sim r$ 内借了几个箱子、不考虑从仓库里拿了几个箱子，我们只定义为 "现在手上要有几个箱子"。

初值 $dp[1][n][0]=dp[1][n][1]=0$，因为没有其他需要访问的仓库了。

答案是 $max(0,dp[i][i][0]-a_i)$。

转移：考虑下一步去哪里。

1. 去 $l-1$，至少有 $h[l-1]$ 个箱子才能过去，过去之后手上要有 $dp[l-1][r][0]$ 个箱子，同时在 $l-1$ 处获取了 $f[l-1]$ 个箱子，因此需要的箱子个数为 $h[l-1]+max(0,dp[l-1][r][0]-f[l-1])$。

2. 去 $r+1$，需要从 $l$ 跨越 $[l,r]$ 去 $r+1$。考虑在这个过程中我们要欠多少箱子，发现就是 $maxh[l\sim r]$。一个重要的观察是：当访问完 $l\sim r$ 且位于 $l$ 时，$l\sim r-1$ 的墙右侧都放了 $h[l\sim r-1]$ 个箱子。 而翻越 $h[r]$ 后还要 $dp[l][r+1][1]$ 个箱子在手，同时在 $r+1$ 处获取了 $f[r+1]$ 个箱子，因此需要箱子个数为 $maxh[l\sim r]+max(0,dp[l][r+1][1]-a[r+1])$。

上面两种取 $min$ 就是 $dp[l][r][0]$。$dp[l][r][1]$ 的转移同理。

T4：

原题为 apc001 XOR Tree。

给一颗带边权（$w<16$）的树，每次操作可将一条路径的边权异或任意值。问最少几次使所有边权为 $0$。$n\le {10}^5$。

trick：边权化点权。定义点权 $a_u$ 为 $u$ 所有邻边的异或。则边权为 $0$ 等价于点权为 $0$。（若点权为 $0$，不停删叶子可证明）
同时
于是一次操作变成把两个点异或任意值。

贪心，两个相同权值的点必然一次消掉。然后最多剩下 $1\sim 15$ 个不同的权值需要处理。

状压，$dp[S]$ 表示 $S$ 中数，至少几次异或后全部变成 $0$。

若 $S$ 中数整体异或非 $0$，显然无解。

否则，$|S|-1$ 次操作显然可行；同时可以枚举一个子集 $S^{\prime }$，$dp[S]\leftarrow dp[S^{\prime }]+|S-S^{\prime }|-1$。

复杂度 $O(3^w+n)$。