NOIP 模拟赛：2024-10-28

合集 - 模拟赛合集(21)

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收起

T1：

给定两个数组 $a,b$，要求将 $b$ 重排，使得 $b>a$ 的位置个数最多，在此基础上最大化 $b$ 的字典序。
$n\le 5000$。

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最多的位置个数是容易求的，排个序即可。

如何最大化字典序？依次枚举 $i=1\sim n$，然后从大到小枚举 $j$ 看看 $b_i=j$ 是否可以让后面依然保持大于位置足够。

把 $j>a_i$ 和 $j\le a_i$ 两类分类，因为这会影响后面需要多少个大于位置。

明显的结论：一定是 $a_{i+1\sim n}$ 的前 $mx-now$ 小匹配。
进而，我们发现当 $j-1$，只会影响 $a$ 一个位置的对应方式。$O(n^2)$。

T2：

给定平面上 $n$ 个点。求点的排列，使得前 $i$ 个点与原点的外包矩形周长 的增加量最小。$n\le {10}^5$。

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断言：每次一定选使得增加量最小的哪个点。
证明：设这个点是 $mn$，如果选了点 $p$ 替代 $mn$，不如把 $mn$ 放在 $p$ 的前面，这样 $p$ 及后面的点造成的增加量必然不增。

然后如何实现找增加量最小的点？维护三个优先队列，保存 "当前矩形上/右/右上方" 的点。取出一个点之后打标记，以后不要在其他队列里取出来。

T3：

$n$ 个数 $\{s_i\}$ 任意分组，要求每一组极差的和 $\le k$，求方案数。$n\le 500,k\le 1000$。

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显然要排序，然后对于 $s_i$ 有：单独开一组或者接在某组后面。

再细分，单独开一组立刻结束/单独开一组不结束/接在某组后面结束/接在某组后面不结束。

问题在于如果接在某组后面，每一组的结尾元素是不一定的，怎么找？

我们这么做：在加入 $s_i$ 之后，剩下所有还没结束的组，贡献都增加 $s_i-s_{i-1}$。这相当于对贡献做了一个差分，然后一直做前缀和直到结束，刚好就是一组的贡献。

$dp[i][j][sum]$ 表示考虑前 $i$ 个，有 $j$ 个还没结束的组，当前总和是 $sum$ 的方案数。

T4：

有 $n$ 个三元组，每个数的值域为 $0\sim F$。要求改最少的数，使每个三元组的总和递减。$n\le {10}^5,F\le {10}^{10}$。

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初始想法：$dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个三元组，第 $i$ 个总和为 $j$ 的方案数。$dp[i][j]=mindp[i-1][j\sim 3F]+dist(su{m}_i,j)$。其中 $su{m}_i$ 表示 $i$ 初始的和，$dist(su{m}_i,j)$ 表示改成 $j$ 至少需要动几个数。

$dist(i,j)$ 可以 $O(1)$ 计算，这个复杂度是 $O(n{F}^2)$ 的。

进阶想法：记录 $mn[i][j]$ 为 $dp[i]$ 的后缀 $min$，可以优化到 $O(nF)$。

满分想法：我们直接在枚举 $i$ 的过程中维护 $mn[i][]$ 的变化。用一个 map 维护 $mn[i][]$ 的差分，即 $mp[j]=mn[i][j]-mn[i][j-1]$。再用一个变量维护 $mn[i][0]$。$i$ 每次变动只有常数个位置变化。