NOIP 模拟赛：2024-10-28

T1：

给定两个数组 \(a,b\)，要求将 \(b\) 重排，使得 \(b>a\) 的位置个数最多，在此基础上最大化 \(b\) 的字典序。
\(n\le 5000\)。

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最多的位置个数是容易求的，排个序即可。

如何最大化字典序？依次枚举 \(i=1\sim n\)，然后从大到小枚举 \(j\) 看看 \(b_i=j\) 是否可以让后面依然保持大于位置足够。

把 \(j>a_i\) 和 \(j\le a_i\) 两类分类，因为这会影响后面需要多少个大于位置。

明显的结论：一定是 \(a_{i+1\sim n}\) 的前 \(mx-now\) 小匹配。
进而，我们发现当 \(j-1\)，只会影响 \(a\) 一个位置的对应方式。\(O(n^2)\)。

T2：

给定平面上 \(n\) 个点。求点的排列，使得前 \(i\) 个点与原点的外包矩形周长 的增加量最小。\(n\le 10^5\)。

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断言：每次一定选使得增加量最小的哪个点。
证明：设这个点是 \(mn\)，如果选了点 \(p\) 替代 \(mn\)，不如把 \(mn\) 放在 \(p\) 的前面，这样 \(p\) 及后面的点造成的增加量必然不增。

然后如何实现找增加量最小的点？维护三个优先队列，保存 "当前矩形上/右/右上方" 的点。取出一个点之后打标记，以后不要在其他队列里取出来。

T3：

\(n\) 个数 \(\{s_i\}\) 任意分组，要求每一组极差的和 \(\le k\)，求方案数。\(n\le 500,k\le 1000\)。

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显然要排序，然后对于 \(s_i\) 有：单独开一组或者接在某组后面。

再细分，单独开一组立刻结束/单独开一组不结束/接在某组后面结束/接在某组后面不结束。

问题在于如果接在某组后面，每一组的结尾元素是不一定的，怎么找？

我们这么做：在加入 \(s_i\) 之后，剩下所有还没结束的组，贡献都增加 \(s_i-s_{i-1}\)。这相当于对贡献做了一个差分，然后一直做前缀和直到结束，刚好就是一组的贡献。

\(dp[i][j][sum]\) 表示考虑前 \(i\) 个，有 \(j\) 个还没结束的组，当前总和是 \(sum\) 的方案数。

T4：

有 \(n\) 个三元组，每个数的值域为 \(0\sim F\)。要求改最少的数，使每个三元组的总和递减。\(n\le 10^5,F\le 10^{10}\)。

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初始想法：\(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 个三元组，第 \(i\) 个总和为 \(j\) 的方案数。\(dp[i][j]=\min dp[i-1][j\sim 3F]+dist(sum_i,j)\)。其中 \(sum_i\) 表示 \(i\) 初始的和，\(dist(sum_i,j)\) 表示改成 \(j\) 至少需要动几个数。

\(dist(i,j)\) 可以 \(O(1)\) 计算，这个复杂度是 \(O(nF^2)\) 的。

进阶想法：记录 \(mn[i][j]\) 为 \(dp[i]\) 的后缀 \(\min\)，可以优化到 \(O(nF)\)。

满分想法：我们直接在枚举 \(i\) 的过程中维护 \(mn[i][]\) 的变化。用一个 map 维护 \(mn[i][]\) 的差分，即 \(mp[j]=mn[i][j]-mn[i][j-1]\)。再用一个变量维护 \(mn[i][0]\)。\(i\) 每次变动只有常数个位置变化。