NOIP 模拟赛：2024-10-23

合集 - 模拟赛合集(21)

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10.NOIP 模拟赛：2024-10-212024-10-2911.NOIP 模拟赛：2024-10-282024-10-3112.NOIP 模拟赛：2024-10-302024-10-3113.NOIP 模拟赛：2024-11-042024-11-1214.NOIP 模拟赛：2024-11-202024-11-2215.NOIP 模拟赛：2024-11-192024-11-2216.NOIP 模拟赛：2024-11-212024-11-2217.NOIP 模拟赛：2024-11-222024-11-2818.NOIP 模拟赛：2024-11-232024-11-2819.NOIP 模拟赛：2024-11-252024-11-2820.NOIP 模拟赛：2024-11-262024-11-2821.NOIP 模拟赛：2024-11-272024-11-28

收起

T1：

游戏有 $n$ 个关卡，编号$1\sim n$，编号$i$ 的关卡的难度是 $p_i$，其中$p_1,p_2,\dots ,p_n$ 是 $1,2,\dots ,n$ 的一个排列。每一个关卡还定义了一个重要度 $d_i$，它的值等于其中前 $i$ 个关卡中的难度最小值，即 $d_i=\underset{j=1}{\overset{i}{min}}{p}_j$。

玩家需通关每个关卡各一次，但不按编号顺序，而是根据重要度$d$。玩家每一次会选择还没有打过的关卡中重要度最低的那一个，如果最低的有多个则选择其中编号最小的那一个。

现在玩家只记得第 $i$ 个通关的关卡的编号是 $x_i$，其他信息则不记得了。请找到一组可能的难度 $p$，这样的排列若有多种可能，则找到字典序最小的那一个。

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容易发现 $x$ 必然是若干个递增序列拼起来，而且递增序列是递减的。从后到前枚举每一段递增序列，开头必须是小的，然后尽量大即可。

T2：

你有一个数组$a_1,a_2,\dots ,a_n$，每次可以选择一个下标$i(1\le i\le n)$，然后将$a_i$变成$max(a_i,a_{i-1},a_{i+1})$或者$min(a_i,a_{i-1},a_{i+1})$。
注意这里我们认为数组首尾是相邻的，也就是认为$a_0$表示$a_n$, $a_{n+1}$表示$a_1$。
问对于每个$k=1,2,\dots ,m$，需要至少进行多少次操作，能将数组里面所有数字变成$k$？如果多少次都不能则输出$-1$。注意对每个$k$，问题是独立的。

对于固定的 $k$，如果把 $k$ 标记为 $0$，$<k$ 标记为 $-1$，$>k$ 标记为 $1$，发现：答案为 $-1,1$ 的个数加上 "每一个 $\pm$ 交替段长度除以二取整" 的和。
线段树维护每个 $\pm$ 交替段的开头即可。

T3：

这数据范围一眼区间 DP。先有个粗略想法：$dp[l][r][k]$ 表示 $l\sim r$ 内，$h_l,h_r>h_k>$ 中间其他 的方案数。

如果 $k-r_k-1\ne l$ 且 $k+r_k+1\ne r$，这个状态不可行。否则先 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{r-l+1-3}{k-1-l+1})$ 把 $l+1\sim k-1$ 和 $k+1\sim r-1$ 的数分配好，然后考虑左右内部的方案数。因左右对称只考虑左边，枚举 $p$ 为 $l+1\sim k-1$ 内最高的位置，取 $dp[l][k][p]$ 累加即可（当然要求 $p$ 的半径刚好到 $l$ 或 $k$）。

但是这样是 $O(n^4)$ 的。用前缀和可以优化到 $O(n^3)$ 获得 $60$pts。

进一步的优化，发现直接记录 $dp[l][r]$ 表示 $l\sim r$ 内填，$l,r$ 默认最高的方案数。转移时枚举 $l\sim r$ 中间半径顶到 $l,r$ 的位置 $k$，然后 $dp[l][k]\times dp[k][r]$ 再乘以组合数即可。而枚举 $l\sim r$ 中间半径顶到 $l,r$ 的位置 $k$，因为每个位置最多被枚举 $2n$ 次，这一部分总共 $O(n^2)$。

如何枚举？如果暴力记录 $v[l][r]$ 保存所有顶到 $l,r$ 的位置爆空间。可以在枚举了区间长度 $len$ 的中途，现场计算两个数组：$v[l]$ 表示左边顶到 $l$ 且右端点 $\ge l+len-1$ 的位置们，$v2[r]$ 类似定义。

T4：

对一棵给定的 $n$ 个结点的无根树 $T$，令 $T_i$ 为把第 $i$ 个结点作为根后得到的有根树。

之后通过 $m$ 次操作构造了 $m+1$ 棵有根树 $G_0,G_1\dots ,G_m$，流程如下：

• 初始，使$G_0=T_1$。

• 对于第 $i$ 次操作，通过如下方式从 $G_{i-1}$ 构造得到$G_i$:

  1. 先选择一个原始结点 $k_i$（$1\le k_i\le n$），并新建一棵和 $T_{k_i}$ 一样的有根树 $T_{\text{base}}$。每次的$k_i$将会是给定的。
  2. 把 $G_{i-1}$ 复制 $n$次。对其中第 $j$ 次的复制，将其根结点作为子结点，与$T_{\text{base}}$ 中的第 $j$ 个结点连边。
  3. 完成连接后，得到新图即为$G_i$。注意这是一个有根树，$G_i$ 的结点个数为 $|G_i|=n|G_{i-1}|+n$ 。

简而言之，在$T_{k_i}$的每个结点下挂一个$G_{i-1}$就是$G_i$。

请对 $G_0,G_1,\cdots ,G_m$ ，求出他们的最大独立集的大小。图的独立集是图的点集的子集，满足任意两个点在图中没有直接连边。

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神奇的结论题。

首先树的不带权独立集是可以贪心的。 自底向上即可。

那么我们求 $G_i$，只需要关心三个东西：原树的独立集大小、$G_{i-1}$ 的独立集大小、$G_{i-1}$ 的根在贪心情况下会不会选。

对于 $T_i$ 中 $i$ 会不会选，可以换根 DP，求出 $cnt[i]$ 表示以 $i$ 为根贪心，$i$ 的儿子有多少个选了。