NOIP 模拟赛：2024-10-17

合集 - 模拟赛合集(21)

1.NOIP 模拟赛：2024-9-232024-09-242.NOIP 模拟赛：2024-9-142024-09-153.NOIP 模拟赛：2024-9-282024-09-294.NOIP 模拟赛：2024-9-302024-10-055.NOIP 模拟赛：2024-10-92024-10-096.NOIP 模拟赛：2024-10-122024-10-127.NOIP 模拟赛：2024-10-152024-10-16

8.NOIP 模拟赛：2024-10-172024-10-18

9.NOIP 模拟赛：2024-10-232024-10-2910.NOIP 模拟赛：2024-10-212024-10-2911.NOIP 模拟赛：2024-10-282024-10-3112.NOIP 模拟赛：2024-10-302024-10-3113.NOIP 模拟赛：2024-11-042024-11-1214.NOIP 模拟赛：2024-11-202024-11-2215.NOIP 模拟赛：2024-11-192024-11-2216.NOIP 模拟赛：2024-11-212024-11-2217.NOIP 模拟赛：2024-11-222024-11-2818.NOIP 模拟赛：2024-11-232024-11-2819.NOIP 模拟赛：2024-11-252024-11-2820.NOIP 模拟赛：2024-11-262024-11-2821.NOIP 模拟赛：2024-11-272024-11-28

收起

挂分 100pts。

T1：数组不清空导致的。

题意：$n$ 个物品，第 $i$ 个物品花费 $2^{a_i}$，价值 $b_i$。问获得 $k$ 的价值最少花多少钱。$n\le {10}^5$。

二分，求 $x$ 块能买到多少价值。按花费从小到大枚举 $i=0\sim 30$，维护一个 "当前物品集合" $q$，初始只存储 $a=0$ 的物品。

若 $x$ 二进制第 $i$ 位是 $1$，从 $q$ 中取最大价值的物品买了。
然后把 $q$ 中剩下物品按价值从大到小排序，最大和第二大、第三大和第四大、…… 两两配对，价值相加，作为花费 $i+1$ 的物品保存。同时若多出一个物品单独了，也将它单独视作一个 $a=i+1$ 的物品放在 $q$ 里。

T2：

题意：给定 $n\times n(n\le 1000)$ 的 01 方格。判断每个格子，是否存在两个 $1$，到它的曼哈顿距离相等。

观察：两个格子的曼哈顿距离取值为 $1\sim 2(n-1)$，所以若 $1$ 个数 $\ge 2n-1$，由抽屉原理知每个格子都能找到两个 $1$ 的距离相等。
因此只剩下 $2000$ 个 $1$ 了，采用枚举每一对 $1$ 然后打标记的方式。

若两个 $1$ 曼哈顿距离是奇数，跳过。否则开始大分讨。

1. 同行，则中间那一列都可以。

2. 同列，则中间那一行都可以。

3. 同对角线，则考虑它们构成的正方形的另外一条对角线。这条对角线也是可以的。另外，这条对角线的端点对应的子矩阵也是可以的（例如这条对角线是左上-右下，那么以它左上端点为右下端点的子矩阵也是可以的）。

4. 啥也不是。找到它们构成的矩形的中心 $mid$，从 $mid$ 画一条与两个 $1$ 不同方向的 $45$° 对角线，这条对角线是可以的。如果这条对角线触碰到矩形上下边界，则从对角线端点向上/下是可以的；否则，从对角线端点向左/右是可以的。

维护二维前缀和，和两个对角线的前缀和。

T3：

题意：给定 01 串 $s,t$，问有多少个 $w$，使得 $w$ 包含 $s$ 是子序列，且以某种方式删去 $s$ 后，预留的是 $t$。$|s|,|t|\le 50$。答案取模。数据随机生成。

怎么分类，使得不重不漏，是难点。

$dp[i][S]$ 表示 $w$ 填了前 $i$ 个字符。若 $S$ 的第 $j$ 位是 $1$，表示可以把这 $i$ 个字符分配，使得匹配好 $s[1\sim j]$ 和 $t[1\sim i-j]$。这是一个不重不漏的分类。

$S$ 转移到 $S^{\prime }$。考虑填 $0$ 还是 $1$，再根据 $s,t$ 下一位是否对上了，就能求 $S^{\prime }$。实际上甚至可以位运算优化这个到 $O(1)$。

但是状态定义是 $O(100\cdot 2^{50})$ 的。怎么办？

数据随机提示我们：有效状态非常少。经过代码，非 $0$ 状态个数下一般不超过 $2^{20}$，还要再少得多。因此直接用队列来转移状态即可。

T4：

题意：给定 $n,m,p,q,r$。三个变量 $x,y,z$ 初始为 $0$。每次操作可以选一个变量 $\pm 1$，也可以三个变量一起 $\pm 1$。问有多少种长度 $n$ 的操作序列，使得最终 $m|x-p,m|y-q,m|z-r$。$n,m\le {10}^6$。取模。

非常巧妙的题。

我们发现，如果用四种操作：$x,y+1$、$y,z+1$、$x,z+1$、$x,y,z-1$，就可以拼凑出所有可能的八种操作（$x\pm 1,y\pm 1,z\pm 1,(x,y,z)\pm 1$）。把它们按顺序记作 $1,2,3,4$ 类操作。

例如：$x+1$ 可以转化为 $134$，$x+y+z$ 可以转化为 $1234$。于是我们只需要考虑这四种操作。默认转译时每个操作内部按字典序排序。

原问题的操作序列，可以等价为新问题的操作序列，而且显然是一一对应的。因此只需要计数有多少种合法的新操作序列了。
注意到 $4$ 操作一定出现 $n$ 次，因为任何一个原操作转译为新操作时，$4$ 都会出现。把 $4$ 看作一个操作的休止符。
设 $1,2,3$ 操作各出现 $s_1,s_2,s_3$ 次。注意因为每个原操作不会有相同的新操作，所以 $s_1,s_2,s_3\le n$。

原来要求 $x=p,y=q,z=r$，等价于 $s_1+s_2-n\equiv p(\mathrm{mod}m)$、$s_1+s_2-n\equiv q(\mathrm{mod}m)$、$s_2+s_3-n\equiv r(\mathrm{mod}m)$。

先把 $n$ 个 $4$ 排成一排，每个 $4$ 前面都是一个可以插入 $1,2,3$ 的 "待插入空间"。因为默认按字典序排序，所以 $1,2,3$ 之间不是排列是组合。因此当 $s_1,s_2,s_3$ 确定的时候，方案数是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s_1})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s_2})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s_3})$。

法一：枚举 $s_1,s_2,s_3$，判断是否合法，然后求和。复杂度 $O(n^3)$。

法二：枚举 $s_1,s_2$，先判断它们两个是否合法，以及是否存在合法的 $s_3$。如果存在，$s_{3}modm$ 是固定的。预处理 $f[x]$ 表示 $0\sim n$ 中 $modm=x$ 的数的组合数求和即可。复杂度 $O(n+n^2)$。

法三：根据 $s_1$ 可以算出 $s_2$ 的余数，根据 $s_1,s_2$ 的余数可以算出是否存在 $s_3$ 合法。所以只枚举 $s_1$，判断后面推出来的所有是否合法。然后算出 $s_2,s_3$ 的余数，直接枚举 $s_2$ 为这个同余类内的所有数，$s_3$ 的答案由上面预处理的东西计算。因为合法的 $s_1$ 很少，所以跑的依然很快。

法四：前面和法三一样，用上面预处理的东西算即可做到复杂度严格 $O(n)$。