NOIP 模拟赛：2024-10-12

合集 - 模拟赛合集(21)

1.NOIP 模拟赛：2024-9-232024-09-242.NOIP 模拟赛：2024-9-142024-09-153.NOIP 模拟赛：2024-9-282024-09-294.NOIP 模拟赛：2024-9-302024-10-055.NOIP 模拟赛：2024-10-92024-10-09

6.NOIP 模拟赛：2024-10-122024-10-12

7.NOIP 模拟赛：2024-10-152024-10-168.NOIP 模拟赛：2024-10-172024-10-189.NOIP 模拟赛：2024-10-232024-10-2910.NOIP 模拟赛：2024-10-212024-10-2911.NOIP 模拟赛：2024-10-282024-10-3112.NOIP 模拟赛：2024-10-302024-10-3113.NOIP 模拟赛：2024-11-042024-11-1214.NOIP 模拟赛：2024-11-202024-11-2215.NOIP 模拟赛：2024-11-192024-11-2216.NOIP 模拟赛：2024-11-212024-11-2217.NOIP 模拟赛：2024-11-222024-11-2818.NOIP 模拟赛：2024-11-232024-11-2819.NOIP 模拟赛：2024-11-252024-11-2820.NOIP 模拟赛：2024-11-262024-11-2821.NOIP 模拟赛：2024-11-272024-11-28

收起

T1：

break 忘了写，于是 -20pts

离散化，若一个段被 $\ge 3$ 个线段覆盖，无解；否则答案为 $2^{cnt}$，$cnt$ 为连通块个数。

这题卡常，要用 sort 离散化。

T2：

推式子，注意到轮数 $\le \log n$ 即可。

T3：

对于同色限制区间，若两个区间有包含关系，只需要保留小的。
把剩下的区间按 $r$ 排序。
$dp[i]$ 表示填 $1\sim i$，只满足所有右端点 $\le i$ 的区间的方案数。

$dp[i]=dp[i-1]\times s-no[i]$，其中 $no[i]$ 表示填 $1\sim i$、至少不满足一个右端点为 $i$ 的区间、满足所有右端点 $\le i-1$ 的方案数。

那么，因为已经去重了，所以右端点为 $i$ 的区间颜色互不相同。那么如果不满足了某一个右端点为 $i$ 的区间，剩余右端点为 $i$ 的区间一定都满足了。
因此 $no[i]=\sum _{j|r_j=i}{d}_j$，其中 $d_j$ 表示填 $1\sim r_j$，不满足区间 $j$ 的限制，满足所有右端点 $\le r_j-1$ 的方案数。

接下来考虑 $d_j$。设与 $j$ 同色且相交的区间为 $j_0,j_1,j_2,\dots ,j_k$，按右端点从大到小排序。则有 $d_j=dp[l_j-1]-\sum _{s=1}^k{d}_{j_s}$。

这是为什么？首先 $dp[l_j-1]$ 已经满足了所有 $\le l_j-1$ 的区间，但是它里面包含了可能使得 $j_0\sim j_k$ 不满足的可能性（因为强制 $l_j\sim r_j=b_j$，且 $dp[l_j-1]$ 可能使得 $l_s\sim l_j-1=b_j$）。下一步是计数 "使得 $j_0\sim j_k$ 至少一个不满足的方案数"。

注意到因为 $j,j_0\sim j_k$ 是按照右端点从大到小排序的，不包含，而且都有交集。
可以推出：$l_{j_k}\le l_{j_{k-1}}\le \cdots \le l_{j_0}\le l_j$，$r_{j_k}\le r_{j_{k-1}}\le \cdots \le r_{j_0}\le r_j$。

强制 $l_j\sim r_j=b_j$。如果 $j_x$ 不满足，显然有 $j_{x-1\sim 0}$ 都不满足。所以 "使得 $j_0\sim j_k$ 至少一个不满足的方案数" 可以分类为 "使得 $j_s$ 不满足的方案数"，每一类求和。"使得 $j_s$ 不满足的方案数" 就是 $d_{j_s}$。所以 $d_j=dp[l_j-1]-\sum d_{j_s}$。

如何计算 $d_j$？因为区间排序后左右端点都有单调性，所以可以用一个队列 $q[clr]$ 维护此时所有颜色为 $clr$ 且还有用的区间。$sum[clr]$ 表示 $q[clr]$ 中所有区间的 $d$ 之和。

除了区间去重，复杂度是线性的。

T4：

一种新的树的生成方式。

这个数据范围，一眼状压。考虑一颗以 $u$ 为根的树 $T$ 怎么生成：枚举 $u$ 的一个儿子 $v$，$v$ 的子树为 $T_0$，则可以先生成 $T-T_0$，然后生成 $T_0$，再连接 $u,v$。

令 $dp[T][u]$ 表示使用 $T$ 内的点构建一颗以 $u$ 为根的生成树，最小的代价是多少。
转移则枚举 $T_0,v$（显然应该有 $v\in T_0$），然后 $dp[T][u]\leftarrow dp[T-T_0][u]+dp[T_0][v]+dis(u,v)\times |T_0|\times (n-|T_0|)$.

这是 $O(3^n\cdot n^2)$ 的。考虑优化。

注意到当固定了 $u,T_0$ 时，$dp[T_0][v]+dis(u,v)\times |T_0|\times (n-|T_0|)$ 只与 $v$ 有关。考虑计算辅助数组 $p[T_0][u]=\underset{v\in T_0}{min}\{dp[T_0][v]+dis(u,v)\times |T_0|\times (n-|T|)\}$。这可以在求出每个 $dp[S][i]$ 时，枚举 $j$ 更新 $p[S][j]$。复杂度 $O(2^n\cdot n^2)$。

于是 $dp[T][u]=\underset{T_0\subseteq T}{min}\{dp[T-T_0][u]+p[T_0][u]\}$，复杂度 $O(3^n\cdot n)$。