CF722F Cyclic Cipher 题解

传送门

给定 $n$ 个数列，第 $i$ 个数列包含 $k_i$ 个不超过 $m$ 的互不相同的正整数(从 $1$ 开始标号)。

每一秒将每个数列中的数左移一个位置(即将每个数的下标 $-1$ , 下标 $1$ 的数下标变为 $k_i$), 并记录由每个数列的第一个数组成的序列。

${10}^{100}$ 秒过后，对于所有的 $1⩽x⩽m$ ，求 $x$ 在记录下来的序列中出现的最长的连续的一段长度。

$n,m\le {10}^5,\sum k_i\le 2\times {10}^5,k_i\le 40$。

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发现数与数之间是独立的，因此单独考虑每个数 $x$。称两个序列是相容的，当且仅当它们能使 $x$ 在某个位置重合。
同时有一个小观察，如果 $x$ 能在某个位置重合，那把序列都左移一位还是重合的，因此可以默认 $x$ 在开头位置重合。

考虑简单情况，如果只有两个序列 $a,b$，$x$ 分别在 $p_a,p_b$ 位置，怎么判断相容？

容易发现这是裴蜀定理的形式，即要存在 $x,y$ 使得 $ax+by=|p_a-p_b|$。而根据裴蜀定理，有解 $⟺$ $gcd(a,b)\mid |p_a-p_b|$。
求 $gcd$ 显然是好求的，而由于每个序列内数互不相同，所以 $p_a,p_b$ 是固定的。因此能简单判断两个序列是否相容。

然后考虑怎么判断连续一段序列是否相容？
结论：当且仅当两两相容。

证明：若一段序列都相容，显然在它们都相容的时刻可以达到两两相容。下面从两两相容证明都相容。

根据序列的个数 $n$ 进行数学归纳法。

1. $n=2$ 显然成立。

2. 假设 $n=k$ 时成立，则对于任意 $n=k+1$，设 $k+1$ 个序列长度为 $t_1\sim t_k,p$。由归纳法知 $t_1\sim t_k$ 两两相容。

   假设在 $t_1\sim t_k$ 的 $x$ 某次在 $1$ 重合时，$p$ 中的 $x$ 还有 $r$ 次才能转到 $1$ 号位（位于 $r+1$）。

   由于两两相容，所以 $gcd(t_i,p)\mid r$，对 $i=1\sim k$ 均成立。设 $q$ 为某质数，$q$ 在 $p$ 中幂次为 $q_p$，在 $r$ 中幂次为 $q_r$，在所有 $t_i$ 中的幂次取 $max$ 为 $q_t$。因为 $gcd(t_i,p)\mid r$，所以 $min(q_p,q_t)\le q_r$，所以 $gcd(p,lcm\{t_i\})\mid r$，所以存在 $x,y$ 使得 $px+lcm\{t_i\}y=r$ 的 $x,y$，转化一下有 $x\cdot p+r=y\cdot lcm\{t_i\}$。这说明在所有序列左移 $r+x\cdot p$ 之后，所有 $x$ 都会在 $1$ 号位。

证毕。

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如何利用这个结论？显然有单调性，考虑双指针，对于每个 $l$ 求出最大的 $r$ 使 $[l,r]$ 相容。

因为 $k_i$ 只有 $40$ 种取值，相同 $k_i$ 的序列相容当且仅当它们 $x$ 的位置相同，因此可以记录 $po{s}_i$ 表示当前区间内长度为 $i$ 的序列的 $x$ 在哪个位置。这样在 $r$ 右移的时候，最多只需要判断 $40$ 次裴蜀定理，就能确定是否相容了。