ABC221G Jumping Sequences 题解

Jumping Sequences

把移动的上下左右改成左上、左下、右上、右下（坐标轴旋转 $45$°）。则最终目的地是 $(A+B,A-B)$。

（以前移动的方式是 $(\pm d_i,0),(0,\pm d_i)$。现在每次移动的方式是 $(\pm d_i,\pm d_i)$）

则 $x,y$ 两维可以分开考虑。

等价问题：从 $d_1\sim d_n$ 中选若干个数和为 $w=\frac{A+B-\sum d_i}{2}$。

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DP，$f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数和为 $j$ 是否可行。

但是这个复杂度是 $O(n^{2}D)$ 的，$i$ 的范围 $n$，$j$ 的范围 $n\times D.$（$D=max{d}_i$）

如何优化？

可以 bitset 优化。$O({\displaystyle \frac{n^{2}d}{32}})$。有点危险。

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介绍一种新的方法。$O(nD)$。

我们找到一个数 $b$，$X=d_1+\cdots +d_{b-1}\le w,d_1+\cdots +d_b>w$。

定义 Balanced Set：$\{1,2,\dots ,b-1\}$ 是一个 BS。 所有能通过下列两个操作从 $\{1,2,\dots ,b-1\}$ 变化到达的也是 BS。

1. balanced insert：插入一个 $\ge b$ 的数。这个操作要求当前的和 $\le w$。

2. balanced delete：删除一个 $<b$ 的数。这个操作要求当前的和 $>w$。

观察：所有 BS 的总和 $\in [w-D,w+D]$。

观察：最优解也是一个 BS。

为了方便，重新设状态定义，从 $b$ 处向两边延申。

$f_{l,r,j}$ 表示考虑 $[l,r]$ 内的操作，是否可以凑出 $j$。

初值 $f_{b+1,b,X}=true.$

转移：

• $f_{l,r,x}\leftarrow f_{l,r-1,x},f_{l+1,r,x}.$（不选）

• $f_{l,r,x+d_r}\leftarrow f_{l,r-1,x}.(x\le w)$

• $f_{l,r,x-d_l}\leftarrow f_{l+1,r,x}.(x>w)$

但复杂度还是没变。再重新设计。

$g_{r,w}$ 表示满足 $f_{l,r,w}=true$ 的 $l$ 最大是多少。若不存在则为 $0$。

• $g_{r,x}\leftarrow g_{r-1,x}.$

• $g_{r,x+d_r}\leftarrow g_{r-1,x}.(x\le w)$

• $g_{r,x-d_l}\leftarrow l.(x>w,l<g_{r,w})$

从左边转移但不操作 $l$ 的情况不用考虑，因为 $g$ 是取 $max$。

状态数少了，但转移复杂度没变。瓶颈在于第三类转移。

注意到 $l<g_{r-1,x}$ 时，其会在 $r-1$ 用第一类转移到。所以只要转移 $l\ge g_{r-1,x}$ 即可。

对于一个 $x$，转移复杂度为 $O(\sum g_{r,x}-g_{r-1,w})=O(n)$，所以总复杂度 $O(nD)$。