3.NOIP 模拟赛：2024-9-282024-09-29

打的挺好，好在最后 40min 想起来给 B 对拍一下捡回来 $100$ pts。

T1

观察到若每个间隔 $0$ 的个数为 $i$ ，则 $1$ 的个数 $\leq \frac{n}{i}$ ，这启示我们枚举 $0$ 的个数，然后快速找到下一个 $1$ 的位置。

记录 $0$ 的前缀个数 + 二分可以做到 $O (n \log^{2} n)$ 。另外，如果记录 $t_{i}$ 表示最小的 $x$ 满足 $s_{i} = 1$ 且 $1 \sim x$ 有 $\geq i$ 个 $0$ ，可以做到 $O (n \log n)$ 。

T2

一般这种看起来不太可做的都是根号。

把出现次数 $\leq \sqrt{n}$ 的颜色记作小色，否则记作大色。预处理 $n e a r [i] [j]$ 表示颜色 $i$ 与大色 $j$ 相邻的灯个数，是 $O (n \sqrt{n})$ 的；然后再维护一个 $f [i]$ ，表示大色 $i$ 有多少个相邻的亮灯。

T3

结论题。观察到一个点如果可以以 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ 到达，且 $d_{1} \leq d_{2} \leq d_{3}$ 且 $d_{3} \leq [1.1 \times d_{1}]$ ，那么 $d_{2}$ 是没有必要保留的。因为如果询问的区间 $[d i s, 1.1 \times d i s]$ 包含 $d_{2}$ ，一定包含 $d_{1}$ 或 $d_{3}$ 。

因此在一个结点上，最多只需要保留 $O (2 {\log_{1.1}}^{V})$ 个距离。因为连续三个至少 $\times 1.1$ 。因此直接拓扑排序，在一个结点处清理它的距离即可。复杂度 $O (n \log n)$ ，常数较大。

T4

观察到每次可以走的格子一定是若干整行、整列的并。对于一行，它最后一次清零的时间为 $t$ ，若第 $i$ 次操作是询问，限制为 $v$ 。那么这一行能走当且仅当 $t \geq i - v$ 。

因此可以使用两颗线段树维护每一行、每一列的清零时刻，需要支持区间 $max, min$ 和单点赋值。然后分类讨论即可。细节略去。

posted @ 2024-09-29 15:37 FLY_lai 阅读(19) 评论(0) 编辑收藏举报

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