NOIP 模拟赛：2024-9-23

合集 - 模拟赛合集(21)

1.NOIP 模拟赛：2024-9-232024-09-24

2.NOIP 模拟赛：2024-9-142024-09-153.NOIP 模拟赛：2024-9-282024-09-294.NOIP 模拟赛：2024-9-302024-10-055.NOIP 模拟赛：2024-10-92024-10-096.NOIP 模拟赛：2024-10-122024-10-127.NOIP 模拟赛：2024-10-152024-10-168.NOIP 模拟赛：2024-10-172024-10-189.NOIP 模拟赛：2024-10-232024-10-2910.NOIP 模拟赛：2024-10-212024-10-2911.NOIP 模拟赛：2024-10-282024-10-3112.NOIP 模拟赛：2024-10-302024-10-3113.NOIP 模拟赛：2024-11-042024-11-1214.NOIP 模拟赛：2024-11-202024-11-2215.NOIP 模拟赛：2024-11-192024-11-2216.NOIP 模拟赛：2024-11-212024-11-2217.NOIP 模拟赛：2024-11-222024-11-2818.NOIP 模拟赛：2024-11-232024-11-2819.NOIP 模拟赛：2024-11-252024-11-2820.NOIP 模拟赛：2024-11-262024-11-2821.NOIP 模拟赛：2024-11-272024-11-28

收起

打的算不错的了。就是 C 的部分分没时间打满了。

警示：调试的时候切忌过分相信自己的某一部分代码！！！请把任何一个函数都注释一遍检查错误源头。

T1

签到题。记录 $pfx[],suf[]$ 表示从前往后尽量少走、从后往前尽量多走，会走到哪里。

然后枚举 $i=0\sim m$，看 $pfx[i],suf[i+1]$ 是否在同一个段内。

T2

码量题。记小边通向 $s_i$，大边通向 $l_i$。

部分分 $50$ 分就是直接暴力 DP。

正解：
二分答案 $x$，改为判定连续段最多 $x$ 大小是否可行。

考虑拆点 + 洪水填充。点 $i$ 拆成 $a_i,b_i$，如果能到达 $a_i$，表示能通过一条路径到达 $i$，且这条路径最后一段是 $A$ 类边。$b_i$ 类似定义。
到这里可以做了。点 $i$ 若通过 $\le mid$ 条 B 边能到达 $x_1\sim x_k$，则从 $a_i$ 向 $b_{x_1\sim x_k}$ 连边。反之亦然。每次会连 $O(n^2)$ 条边，复杂度 $O(n^2\log n)$。虽然还是没多拿分

观察到如果单取 $A$ 边或者 $B$ 边，是内向基环树，所以每个点向后的路径是唯一的。考虑 ST 表式倍增建点。给 $a_i,a_{l_i},a_{l_{l_i}},\dots ,a_{{l^{2^k}}_i}$ 建立一个点 $pa(k,i)$，从 $pa(k,i)$ 向 $pa(k-1,i),pa(k-1,i+pw[i-1])$ 连边（若 $k=1$ 就直接连 $a_i,a_{l_i}$）。给 B 基环树也类似倍增地建点。总共多建立了 $2n\log n$ 个点和 $4n\log n$ 条边。但是此时 $a_i$ 只需连两条边到 $pb(?),pb(?)$，就能覆盖所有通过 $\le mid$ 条 B 边可达的点 $b_j$。所以连边变成 $O(n\log n)$ 的了，复杂度为 $O(n{\log }^{2}n)$。

T3

究极码量题。调过了！

先考虑在一棵树上，求包含路径 $(u,v)$ 的最长路径。这是简单的，我们只需要做树形 DP，求出每个点在子树内的最长路径和次长路径，要求不来自同一颗子树。再求出每个结点父结点子树的最长路径即可。

然后筛法筛出 $1\sim {10}^6$ 内的质数。对于一个质数 $p$，定义它的一个子图 $G_p$ 为：保留原树内的边权是 $p$ 的倍数的边所构成的森林。

对于每个森林，预处理出其每棵树（要求至少带一条边）内的 DP 值。同时对原树也做一次 DP。

对于一次询问 $(u,v)$，求出原树上路径的 $gcd=g$（这个倍增求是容易的），然后对 $g$ 质因数分解。依次考虑 $g$ 的每个质因数 $p$，在 $G_p$ 上包含 $u,v$ 的树内，求出包含 $u,v$ 这条路径的最长路径长度 $len$，则答案至少为 $len+1$。

在求出 $x=max\{len+1\}$ 之后，检查在原树上包含 $u,v$ 的最长长度是否 $\ge x$，如果是，答案为 $x$；否则无解。