CF1534（模拟赛记录）

比赛页面

ABCD 都打的可以，然而 E 的 +10 直接葬送了大概率过的 F1 ……

先猜了个 $n-k+1$ 的结论，但是没有写搜索查正确性（事实上确实不正确），于是两次罚时，第一次是交互格式错了。
然后又猜了个 $min(n-k+1,(n-1)/(k-1))$ 的结论，过了几个小的搜索数据（$n\le 6$）的，大一点的没跑，于是又两次罚时。
五分钟后发现 7 3 都跑不过去，立刻全部删掉重新想。想出来的解法是对的，但依然吃了五发罚时。
猜 $n-k+1$ 的时候写了个搜索做对拍，因为玩的小样例次数都 $\le n-k+1$，搜索设定了只会搜出来次数 $\le n-k+1$ 的解，导致把 4 3 这种虽然两次不行，但是四次可以的情况判定为无解，再加上 5 2 这种确实是无解的，误以为 $n,k$ 奇偶性不同就无解。
这个错误的判无解方式沿用到我的正确解法里面，吃了五发罚时才发现这个问题 ……

警示：猜结论最好能证明出来。猜结论至少跑个中等强度的数据。猜的结论测出错时，要立刻把所有基于这个结论的东西都视作未证明的东西，包括搜索。

下面记录一下 E 的正确解法。

题目转化为 $n$ 个杯子，每次翻 $k$ 个，要求全部翻面，最少几次。

考虑每个杯子被翻的次数 $c_i$，有：$2\nmid c_i$、$\sum c_i=k\cdot times$，这是比较显然的。

因为每个杯子的地位是相同的，考虑构造一个 $\{c_i\}$，记 $sum=\sum c_i$，目标是让这个 $c_i$ 满足上面两个条件的同时，让能达成 $c$ 的操作次数最小。

对于一个序列 $c$，显然要至少 $max{c}_i$ 次操作才可行（因为不能一次操作重复翻杯子）。因为 ${\displaystyle \frac{sum}{k}}$ 是操作次数，所以必须有 $max{c}_i\le {\displaystyle \frac{sum}{k}}$ 才有可能可行。赛时直接数学直觉，猜这个也是充分条件过了。

如果这个结论成立，目标就是构造一个 $c$ 满足：$2\nmid c_i$、$k\mid \sum c_i$、$max{c}_i\le {\displaystyle \frac{\sum c_i}{k}}$ 这些条件，然后使 $\sum c_i$ 最小。

初始设定 $c_i=1$，因为必须是奇数，所以改变 $c_i$ 只能 $+2$。因为要让最大值小于平均数，肯定是尽量平均的 $+2$，如此循环直到 $k\mid \sum c_i$。

于是得到算法：令 $p=1$，每次令 $c_p+2$，然后 $p\leftarrow p+1$（$p=n$ 则 $p\leftarrow 1$），直到 $k\mid sum$，找到最优的 $c$ 数组。判无解可以在这个过程中做：当 $sum/k>500$ 则无解。

然后是怎么通过 $c$ 还原操作：每次取 $c$ 最大的 $k$ 个位置，然后全部 $-1$ 即可。

最后一个问题：为什么一个 $c$ 数组在满足 $2\nmid c_i$、$k\mid \sum c_i$、$max{c}_i\le {\displaystyle \frac{sum}{k}}$ 就能构造出合法序列？

按照 $max{c}_i$ 的大小归纳。

当 $max{c}_i=1$，显然。

当 $max{c}_i>1$，记 $mx=max{c}_i$，因为 $mx\le sum/k$，所以 $sum\ge k\cdot mx\ge 3k>2k$；同时 $n=\sum {\displaystyle \frac{c_i}{c_i}}\ge \sum {\displaystyle \frac{c_i}{mx}}={\displaystyle \frac{sum}{mx}}\ge k$。所以一定可以进行两次操作都包含 $mx$。于是 $mx\to mx-2$，由归纳假设知可行。

---

官方题解：我们只关心当前奇数次的杯子个数，建立 $0\sim n$，第 $i$ 个点表示当前有 $i$ 个奇数，求 $0\to n$ 的最短路即可。

另外 F 是个没有技术含量的缩点。