CF1534（模拟赛记录）
ABCD 都打的可以，然而 E 的 +10 直接葬送了大概率过的 F1 ……
先猜了个 \(n-k+1\) 的结论，但是没有写搜索查正确性（事实上确实不正确），于是两次罚时，第一次是交互格式错了。
然后又猜了个 \(\min(n-k+1,(n-1)/(k-1))\) 的结论，过了几个小的搜索数据（\(n\le 6\)）的，大一点的没跑，于是又两次罚时。
五分钟后发现 7 3 都跑不过去，立刻全部删掉重新想。想出来的解法是对的，但依然吃了五发罚时。
猜 \(n-k+1\) 的时候写了个搜索做对拍，因为玩的小样例次数都 \(\le n-k+1\)，搜索设定了只会搜出来次数 \(\le n-k+1\) 的解，导致把 4 3 这种虽然两次不行，但是四次可以的情况判定为无解，再加上 5 2 这种确实是无解的，误以为 \(n,k\) 奇偶性不同就无解。
这个错误的判无解方式沿用到我的正确解法里面，吃了五发罚时才发现这个问题 ……
警示：猜结论最好能证明出来。猜结论至少跑个中等强度的数据。猜的结论测出错时，要立刻把所有基于这个结论的东西都视作未证明的东西，包括搜索。
下面记录一下 E 的正确解法。
题目转化为 \(n\) 个杯子，每次翻 \(k\) 个，要求全部翻面，最少几次。
考虑每个杯子被翻的次数 \(c_i\)，有：\(2\not\mid c_i\)、\(\sum c_i=k\cdot times\)，这是比较显然的。
因为每个杯子的地位是相同的，考虑构造一个 \(\{c_i\}\)，记 \(sum=\sum c_i\)，目标是让这个 \(c_i\) 满足上面两个条件的同时，让能达成 \(c\) 的操作次数最小。
对于一个序列 \(c\)，显然要至少 \(\max c_i\) 次操作才可行（因为不能一次操作重复翻杯子）。因为 \(\dfrac{sum}{k}\) 是操作次数，所以必须有 \(\max c_i\le \dfrac{sum}{k}\) 才有可能可行。赛时直接数学直觉，猜这个也是充分条件过了。
如果这个结论成立，目标就是构造一个 \(c\) 满足：\(2\not\mid c_i\)、\(k\mid\sum c_i\)、\(\max c_i\le \dfrac{\sum c_i}{k}\) 这些条件，然后使 \(\sum c_i\) 最小。
初始设定 \(c_i=1\)，因为必须是奇数，所以改变 \(c_i\) 只能 \(+2\)。因为要让最大值小于平均数，肯定是尽量平均的 \(+2\)，如此循环直到 \(k\mid \sum c_i\)。
于是得到算法：令 \(p=1\)，每次令 \(c_p+2\)，然后 \(p\leftarrow p+1\)（\(p=n\) 则 \(p\leftarrow 1\)），直到 \(k\mid sum\)，找到最优的 \(c\) 数组。判无解可以在这个过程中做：当 \(sum/k>500\) 则无解。
然后是怎么通过 \(c\) 还原操作：每次取 \(c\) 最大的 \(k\) 个位置，然后全部 \(-1\) 即可。
最后一个问题：为什么一个 \(c\) 数组在满足 \(2\not\mid c_i\)、\(k\mid \sum c_i\)、\(\max c_i\le \dfrac{sum}{k}\) 就能构造出合法序列？
按照 \(\max c_i\) 的大小归纳。
当 \(\max c_i=1\)，显然。
当 \(\max c_i>1\)，记 \(mx=\max c_i\)，因为 \(mx\le sum/k\)，所以 \(sum\ge k\cdot mx\ge 3k>2k\)；同时 \(n=\sum \dfrac{c_i}{c_i}\ge \sum \dfrac{c_i}{mx}=\dfrac{sum}{mx}\ge k\)。所以一定可以进行两次操作都包含 \(mx\)。于是 \(mx\rightarrow mx-2\)，由归纳假设知可行。
官方题解：我们只关心当前奇数次的杯子个数，建立 \(0\sim n\)，第 \(i\) 个点表示当前有 \(i\) 个奇数，求 \(0\rightarrow n\) 的最短路即可。
另外 F 是个没有技术含量的缩点。
