四边形不等式

【定义】

四边形不等式是对一个二元函数 $w(l,r)$ 定义的。这个 $w(l,r)$ 可以看作一段区间的 "代价"。

如果 $\mathrm{\forall }{l}_1\le l_2\le r_1\le r_2$，都有 $w(l_1,r_1)+w(l_2,r_2)\le w(l_1,r_2)+w(l_2,r_1)$，称 $w()$ 满足四边形不等式。
简记为 "交叉小于包含"。

同时有一个等价结论：$w()$ 满足四边形不等式 $⟺$ $w(l,r-1)+w(l+1,r)\le w(l,r)+w(l+1,r-1)$。

小结论：两个函数满足四边形不等式，它们的和也满足四边形不等式。

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单调性：如果函数 $w$ 对 $\mathrm{\forall }{l}_1\le l_2\le r_1\le r_2$ 都有 $w(l_2,r_1)\le w(l_1,r_2)$，称 $w$ 有单调性。

【三个模型】

四边形不等式的优化基于最早的最优决策点的位置变化。记 $opt(l,r)$ 为 $f_{l,r}$ 的最早的最优决策点。

【合并模型】

$$f_{l,r}=\underset{l\le k<r}{min}\{f_{l,k}+f_{k+1,r}\}+w(l,r)$$

条件：$w$ 满足四边形不等式且满足单调性。

结论：$f$ 满足四边形不等式；$opt(i,j)\le opt(i,j+1)\le opt(i+1,j+1)$（双单调性）。

有了这个结论，可以按照 $r-l+1$ 的大小枚举，因为 $opt(l,r-1)\le opt(l,r)\le opt(l+1,r)$，而 $opt(l,r-1),opt(l+1,r)$ 已经求出来了，所以可以直接枚举 $[opt(l,r-1),opt(l+1,r)]$ 中的每个数作为决策位置求最优。

对于 $r-l+1$ 固定的情况下，可以发现 $[opt(l,r-1),opt(l+1,r)]$ 恰好首尾相连拼出来一个 $O(n)$ 的区间。所以总复杂度 $O(n^2)$。

【分组模型】

$$f_{i,k}=\underset{0\le j<i}{min}\{f_{j,k}+w(j,i)\}$$

有的可能是 $+w(j+1,i)$ 不过不影响。

条件：$w$ 满足四边形不等式且满足单调性。

结论：$opt(i,j-1)\le opt(i,j)\le opt(i+1,j)$。

可以类似上面合并模型得到 $O(n^2)$ 的方法。

这里有另外一种方法：二分队列。用一个队列维护若干个区间，每个区间都是一段极大的决策点。每加入一个新决策点，从后往前检查每个旧决策点，看新决策点是不是更优；如果是一部分优，一部分不优，就二分找到分割点，改一下。复杂度 $O(n\log n)$

还有另外一种方法：分治。假如当前求 $f[l\sim r][k]$，备选决策区间为 $[ql,qr]$。把 $[ql,qr]$ 扫一遍，找到 $f[mid][k]$ 的最优决策点 $p$。则 $f[l\sim mid-1][k]$ 的决策区间为 $[ql,p]$，另一边同理。每一层 $O(n)$，递归层数 $O(\log n)$，所以求 $f[][k]$ 的复杂度 $O(n\log n)$。总复杂度 $O(nk\log n)$。

【1d1d 模型】

$$f_i=\underset{0\le j<i}{min}\{f_j+w(j,i)\}$$

条件：$w$ 满足四边形不等式。

结论：$opt(i)\le opt(i+1)$。

做法类似上面。