四边形不等式

【定义】

四边形不等式是对一个二元函数 \(w(l,r)\) 定义的。这个 \(w(l,r)\) 可以看作一段区间的 "代价"。

如果 \(\forall l_1\le l_2\le r_1\le r_2\)，都有 \(w(l_1,r_1)+w(l_2,r_2)\le w(l_1,r_2)+w(l_2,r_1)\)，称 \(w()\) 满足四边形不等式。
简记为 "交叉小于包含"。

同时有一个等价结论：\(w()\) 满足四边形不等式 \(\iff\) \(w(l,r-1)+w(l+1,r)\le w(l,r)+w(l+1,r-1)\)。

小结论：两个函数满足四边形不等式，它们的和也满足四边形不等式。

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单调性：如果函数 \(w\) 对 \(\forall l_1\le l_2\le r_1\le r_2\) 都有 \(w(l_2,r_1)\le w(l_1,r_2)\)，称 \(w\) 有单调性。

【三个模型】

四边形不等式的优化基于最早的最优决策点的位置变化。记 \(opt(l,r)\) 为 \(f_{l,r}\) 的最早的最优决策点。

【合并模型】

\[f_{l,r}=\min_{l\le k<r}\{f_{l,k}+f_{k+1,r}\}+w(l,r) \]

条件：\(w\) 满足四边形不等式且满足单调性。

结论：\(f\) 满足四边形不等式；\(opt(i,j)\le opt(i,j+1)\le opt(i+1,j+1)\)（双单调性）。

有了这个结论，可以按照 \(r-l+1\) 的大小枚举，因为 \(opt(l,r-1)\le opt(l,r)\le opt(l+1,r)\)，而 \(opt(l,r-1),opt(l+1,r)\) 已经求出来了，所以可以直接枚举 \([opt(l,r-1),opt(l+1,r)]\) 中的每个数作为决策位置求最优。

对于 \(r-l+1\) 固定的情况下，可以发现 \([opt(l,r-1),opt(l+1,r)]\) 恰好首尾相连拼出来一个 \(O(n)\) 的区间。所以总复杂度 \(O(n^2)\)。

【分组模型】

\[f_{i,k}=\min_{0\le j<i}\{f_{j,k}+w(j,i)\} \]

有的可能是 \(+w(j+1,i)\) 不过不影响。

条件：\(w\) 满足四边形不等式且满足单调性。

结论：\(opt(i,j-1)\le opt(i,j)\le opt(i+1,j)\)。

可以类似上面合并模型得到 \(O(n^2)\) 的方法。

这里有另外一种方法：二分队列。用一个队列维护若干个区间，每个区间都是一段极大的决策点。每加入一个新决策点，从后往前检查每个旧决策点，看新决策点是不是更优；如果是一部分优，一部分不优，就二分找到分割点，改一下。复杂度 \(O(n\log n)\)

还有另外一种方法：分治。假如当前求 \(f[l\sim r][k]\)，备选决策区间为 \([ql,qr]\)。把 \([ql,qr]\) 扫一遍，找到 \(f[mid][k]\) 的最优决策点 \(p\)。则 \(f[l\sim mid - 1][k]\) 的决策区间为 \([ql,p]\)，另一边同理。每一层 \(O(n)\)，递归层数 \(O(\log n)\)，所以求 \(f[][k]\) 的复杂度 \(O(n\log n)\)。总复杂度 \(O(nk\log n)\)。

【1d1d 模型】

\[f_i=\min_{0\le j<i}\{f_j+w(j,i)\} \]

条件：\(w\) 满足四边形不等式。

结论：\(opt(i)\le opt(i+1)\)。

做法类似上面。