AGC022E Median Replace
题意：给定长度为奇数的 01? 串，问多少种填法使得串可以变成 \(1\)。一次操作定义为把连续三个数变成它们的中位数。
这种计数题可以先考虑怎么判定一个串是否可以变成 \(1\)，称作合法。
根据人类智慧，可以想到 \(000S\) 合法 \(\iff\) \(0S\) 合法，进而启示我们考虑串 \(S\) 的前几位，看它与什么串的答案等价。
观察发现：
-
\(01S \iff S\)；
-
\(001S \iff 0S\)；
-
\(000S \iff 0S\)；
-
\(101S \iff 1S\)；
-
\(1001S \iff 10S\)；
-
\(1000S \iff 10S\)；
-
\(11S\) 一定合法。
第七条是非常显然的，只需证明前六条；而前六条性质从右到左同样非常显然，只需证明前六条的 \(\Rightarrow\) 方向。
引理：\(1S\) 合法 \(\iff\) \(S\) 可以变成 \(01/10/11\)。
证明：\(\Leftarrow\) 显然，只证明 \(\Rightarrow\)。
考虑 \(1S\) 要变成 \(1\)，最后三个数来自 \(1S\) 的哪些部分。
-
\(1+S_1+S_2\)，因为能变成 \(1\)，所以 \(S_1,S_2\) 中必有一个 \(1\)。
-
\(1S_1+S_2+S_3\)。若 \(1S_1\) 对应的是 \(0\)，则 \(S_2,S_3\) 都能变成 \(1\)，显然 \(S=S_1S_2S_3\) 能变成 \(10/01/11\)。
否则 \(1S_1\) 对应变成 \(1\)，根据归纳法，\(S_1\) 能变成 \(01/10/11\)，可以发现无论 \((S_2,S_3)=(1,0)/(0,1)/(1,1)\)，\(S\) 也都能变成 \(01/10/11\)。
引理证毕，下面开始证明。
-
\(01S\) 合法，考虑 \(01S\) 倒数第二步时的三个数对应原本的哪三段。
-
\(0+1+S\)，这表示因为 \(0,1,\text{S 变成的数}\) 要能变成 \(1\)，所以 \(S\) 可以变成 \(1\)。
-
\(0+1S_1+S_2\)，因为有一个 \(0\)，所以 \(1S_1,S_2\) 都要能变成 \(1\)。根据引理，\(S_1\) 能变成 \(01/10/11\)，所以 \(S_1S_2\) 一起能变出两个 \(1\) 一个 \(0\)，\(S\) 合法。
-
\(01S_1+S_2+S_3\)。如果 \(01S_1\) 变成的是 \(0\)，则 \(S_2,S_3\) 都变成 \(1\)，\(S=S_1S_2S_3\) 可以变成 \(\cdots 11\)，\(S\) 合法。
否则 \(01S_1\) 归纳法证明。
-
上面六条都可以类似证明，可自行练习。
另外这里可以偷个懒：\(000S\) 合法 \(\Rightarrow 001S\) 合法 \(\iff\) \(0S\) 合法。
在证明了上面六条之后，我们可以建立一个这样的自动机：接受的信号类型只有 \(0,1\) 两种。一共七个状态，每个状态对应一个 \(01\) 串。每个状态接受信号的目的地，就根据上面的定理。
例如 \(0\) 接受了信号 \(1\) 就回到代表 "空" 的结点，因为 \(01S\iff S\)。
例如 \(00\) 接受了信号 \(0/1\) 就回到代表 "0" 的结点，因为 \(000S/001S\iff 0S\)。
另外，代表 "11" 的结点是终止状态。
于是我们可以在自动机上 DP。\(dp[i][j]\) 表示填了前 \(i\) 个字符，位于自动机上结点 \(j\) 的方案总数。把 \(id(x)\) 记为 \(x\) 对应的自动机结点编号。注意转移的时候不能从 \(dp[i][id(11)]\) 出发转移。
\(ans=dp[len][id(1)]+\sum dp[i][id(11)]\times pow\)。
\(dp[len][id(1)]\) 很好理解，填完全部之后如果你的串合法等价于 \(1\) 合法，当然就合法；后面那一串是因为你的串等价于 \(11\cdots\) 时，是一定合法的，只需要统计 \(\cdots\) 里面有多少个问号，乘一个二的幂就行了。
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 3e5 + 5, MOD = 1e9 + 7;
string s;
ll dp[N][8] = {{}};
int e[10][2];
ll ans = 0;
int main() {
// freopen("1.in", "r", stdin);
// freopen("1.out", "w", stdout);
cin >> s;
if (s.size() == 1) {
if (s == "1" || s == "?")
cout << 1 << endl;
else
cout << 0 << endl;
return 0;
}
e[1][0] = 2;
e[1][1] = 4;
e[2][1] = 1;
e[2][0] = 3;
e[3][0] = e[3][1] = 2;
e[4][0] = 5;
e[4][1] = 7;
e[5][0] = 6;
e[5][1] = 4;
e[6][0] = e[6][1] = 5;
dp[0][1] = 1;
for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= 6; j++) {
if (s[i] != '0')
dp[i + 1][e[j][1]] = (dp[i + 1][e[j][1]] + dp[i][j]) % MOD;
if (s[i] != '1')
dp[i + 1][e[j][0]] = (dp[i + 1][e[j][0]] + dp[i][j]) % MOD;
}
}
ans = dp[s.size()][4];
for (ll i = s.size() - 1, pw = 1; i >= 0; i--) {
ans = (ans + dp[i + 1][7] * pw % MOD) % MOD;
if (s[i] == '?')
pw = pw * 2 % MOD;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
