AGC022E Median Replace

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题意：给定长度为奇数的 01? 串，问多少种填法使得串可以变成 \(1\)。一次操作定义为把连续三个数变成它们的中位数。

这种计数题可以先考虑怎么判定一个串是否可以变成 \(1\)，称作合法。

根据人类智慧，可以想到 \(000S\) 合法 \(\iff\) \(0S\) 合法，进而启示我们考虑串 \(S\) 的前几位，看它与什么串的答案等价。

观察发现：

1. \(01S \iff S\)；

2. \(001S \iff 0S\)；

3. \(000S \iff 0S\)；

4. \(101S \iff 1S\)；

5. \(1001S \iff 10S\)；

6. \(1000S \iff 10S\)；

7. \(11S\) 一定合法。

第七条是非常显然的，只需证明前六条；而前六条性质从右到左同样非常显然，只需证明前六条的 \(\Rightarrow\) 方向。

引理：\(1S\) 合法 \(\iff\) \(S\) 可以变成 \(01/10/11\)。

证明：\(\Leftarrow\) 显然，只证明 \(\Rightarrow\)。

考虑 \(1S\) 要变成 \(1\)，最后三个数来自 \(1S\) 的哪些部分。

1. \(1+S_1+S_2\)，因为能变成 \(1\)，所以 \(S_1,S_2\) 中必有一个 \(1\)。

2. \(1S_1+S_2+S_3\)。若 \(1S_1\) 对应的是 \(0\)，则 \(S_2,S_3\) 都能变成 \(1\)，显然 \(S=S_1S_2S_3\) 能变成 \(10/01/11\)。

   否则 \(1S_1\) 对应变成 \(1\)，根据归纳法，\(S_1\) 能变成 \(01/10/11\)，可以发现无论 \((S_2,S_3)=(1,0)/(0,1)/(1,1)\)，\(S\) 也都能变成 \(01/10/11\)。

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引理证毕，下面开始证明。

1. \(01S\) 合法，考虑 \(01S\) 倒数第二步时的三个数对应原本的哪三段。

   • \(0+1+S\)，这表示因为 \(0,1,\text{S 变成的数}\) 要能变成 \(1\)，所以 \(S\) 可以变成 \(1\)。

   • \(0+1S_1+S_2\)，因为有一个 \(0\)，所以 \(1S_1,S_2\) 都要能变成 \(1\)。根据引理，\(S_1\) 能变成 \(01/10/11\)，所以 \(S_1S_2\) 一起能变出两个 \(1\) 一个 \(0\)，\(S\) 合法。

   • \(01S_1+S_2+S_3\)。如果 \(01S_1\) 变成的是 \(0\)，则 \(S_2,S_3\) 都变成 \(1\)，\(S=S_1S_2S_3\) 可以变成 \(\cdots 11\)，\(S\) 合法。

     否则 \(01S_1\) 归纳法证明。

上面六条都可以类似证明，可自行练习。
另外这里可以偷个懒：\(000S\) 合法 \(\Rightarrow 001S\) 合法 \(\iff\) \(0S\) 合法。

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在证明了上面六条之后，我们可以建立一个这样的自动机：接受的信号类型只有 \(0,1\) 两种。一共七个状态，每个状态对应一个 \(01\) 串。每个状态接受信号的目的地，就根据上面的定理。

例如 \(0\) 接受了信号 \(1\) 就回到代表 "空" 的结点，因为 \(01S\iff S\)。
例如 \(00\) 接受了信号 \(0/1\) 就回到代表 "0" 的结点，因为 \(000S/001S\iff 0S\)。

另外，代表 "11" 的结点是终止状态。

于是我们可以在自动机上 DP。\(dp[i][j]\) 表示填了前 \(i\) 个字符，位于自动机上结点 \(j\) 的方案总数。把 \(id(x)\) 记为 \(x\) 对应的自动机结点编号。注意转移的时候不能从 \(dp[i][id(11)]\) 出发转移。

\(ans=dp[len][id(1)]+\sum dp[i][id(11)]\times pow\)。

\(dp[len][id(1)]\) 很好理解，填完全部之后如果你的串合法等价于 \(1\) 合法，当然就合法；后面那一串是因为你的串等价于 \(11\cdots\) 时，是一定合法的，只需要统计 \(\cdots\) 里面有多少个问号，乘一个二的幂就行了。

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h> 

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 3e5 + 5, MOD = 1e9 + 7;

string s;
ll dp[N][8] = {{}};
int e[10][2];
ll ans = 0;

int main() {
//	freopen("1.in", "r", stdin);
//	freopen("1.out", "w", stdout);
	cin >> s;
	
	if (s.size() == 1) {
		if (s == "1" || s == "?")
			cout << 1 << endl;
		else
			cout << 0 << endl;
		return 0;
	} 
	
	e[1][0] = 2;
	e[1][1] = 4;
	e[2][1] = 1;
	e[2][0] = 3;
	e[3][0] = e[3][1] = 2;
	e[4][0] = 5;
	e[4][1] = 7;
	e[5][0] = 6;
	e[5][1] = 4;
	e[6][0] = e[6][1] = 5;
	
	dp[0][1] = 1;
	for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
		for (int j = 1; j <= 6; j++) {
			if (s[i] != '0')
				dp[i + 1][e[j][1]] = (dp[i + 1][e[j][1]] + dp[i][j]) % MOD;
			if (s[i] != '1')
				dp[i + 1][e[j][0]] = (dp[i + 1][e[j][0]] + dp[i][j]) % MOD;
		}
	}
	
	ans = dp[s.size()][4];
	for (ll i = s.size() - 1, pw = 1; i >= 0; i--) {
		ans = (ans + dp[i + 1][7] * pw % MOD) % MOD;
		if (s[i] == '?')
			pw = pw * 2 % MOD; 
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}