KMP 与 Z 函数拓展

【失配树：KMP 拓展】

先 KMP 一遍。然后对 $0\sim n$ 建立一棵树：$nxt[i]$ 作为 $i$ 的父结点。

则最长公共 border 就是这棵树上的 LCA 对应的长度。

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border：若 $a$ 既是 $s$ 的前缀又是 $s$ 的后缀，则 $a$ 是 $s$ 的 border。

周期：若 $s$ 以 $p$ 为周期，则 $s[i]=s[imodp]$。

整周期：若 $s$ 以 $p$ 为整周期，则 $s$ 以 $p$ 为周期且 $p\mid n$。

KMP 求出来的是 $nxt$ 数组：$nxt[i]$ 表示 $s$ 的前 $i$ 个字符构成的前缀的最长真 border 长度。

exKMP 求出来的是 $Z$ 数组：$z[i]$ 表示 $s[0\sim n-1]$ 与 $s[i\sim n-1]$ 的 LCP 长度。

记 $R(s)$ 表示 $s$ 无限循环构成的字符串。

记 $root(s)$ 表示 $s$ 的最小整周期字符串。

$s$ 的 cyclic-shift 指 $s$ 的循环移位。

【一些结论】

1. 字符串 $s$ 的所有 border 长度为 $nxt[n],nxt[nxt[n]],\dots$

2. 若 $s$ 有长度为 $x$ 的 border $⟺$ $s$ 以 $n-x$ 为周期。

3. 如果 border 存在，最短 border 长度 $\le n/2$。

4. 若 $s$ 以 $p$ 为整周期 $⟺$ $z[p]=n-p$。

5. $|root(s)|<|s|⟺$ $s$ 某个真 cyclic-shift 等于 $s$。

6. 若 $(n-nxt[n])\mid n$，则 $|root(s)|=n-nxt[n]$；否则 $root(s)=s$。

7. 若 $s$ 分别以 $p,q$ 为整周期，则 $s$ 以 $gcd(p,q)$ 为整周期。（弱周期定理）

   证明：考虑 $A=R(s)$。有 $A_i=A_{i+p}=A_{i+q}$。由裴蜀定理，存在 $ap+bq=gcd(p,q)$。则 $A_i=A_{i+ap+bq}=A_{i+gcd(p,q)}$。

8. $R(a)=R(b)⟺ab=ba$。

   考虑引入第三个命题：$root(a)=root(b)$。我们尝试证明 $R(a)=R(b)$ 和 $ab=ba$ 都与 $root(a)=root(b)$ 等价。显然从 $root(a)=root(b)$ 去推另外两个是很简单的。

   1. $R(a)=R(b)\Rightarrow root(a)=root(b)$。

      由结论 7，$R(a)$ 以 $gcd(|a|,|b|)$ 为周期，则 $a,b$ 都以 $R(a)$ 的前 $gcd(|a|,|b|)$ 个字符作为周期。

   2. $ab=ba\Rightarrow root(a)=root(b)$。

      根据 $|a|+|b|$ 的长度归纳。显然 $|a|+|b|=2$ 的时候成立。然后考虑 $|a|>|b|,|a|=|b|,|a|<|b|$ 三种情况。$|a|=|b|$ 显然。而 $|a|<|b|$ 可以对称。因此只需要证明 $|a|>|b|$ 情况。

      当 $|a|>|b|$，$ab=ba$。不妨 $a=bc$，则 $bcb=bbc$。于是 $cb=bc$，由归纳法知 $root(b)=root(c)$，而 $a=bc$ 显然 $root$ 也相等。

   于是证毕。

9. $R(a)<R(b)⟺ab<ba$。

   考虑 $\sum =\{0\sim 9\}$ 的情况（看作十进制数）。记 $n=|a|,m=|b|$。

   左边可以看作两个循环小数的比较：$\overline{0.aaaa...}<\overline{0.bbbb....}⟺a\times {\displaystyle \frac{1}{{10}^n-1}}<b\times {\displaystyle \frac{1}{{10}^m-1}}$。

   右边可以写成十进制数：$a\times {10}^m+b<b\times {10}^n+a$。

   可以发现这两个式子等价。拓展到更大的字符集也可以类似做，只是进制改变了。

【题目】

• 判断两个字符串 $s1,s2$ 是否循环同构。

  令 $s=s1s1$，判断 $s$ 中是否有 $s2$ 即可。跑一遍 KMP。

• Periods of Words

  题意：若 $a$ 是 $s$ 的真前缀，且 $s$ 是 $aa$ 的前缀，称 $a$ 是 $s$ 的周期。给定字符串 $w$，求 $w$ 每个前缀的最长周期长度之和（如果不存在算 $0$）。注意这个周期的定义和上面不是一个。

  容易发现，对于一个固定的 $s$，它最大周期等于 $|s|$ 减去 $s$ 的最短真 border 的长度（如果不存在真 border 则不存在周期）。

  因此跑一遍 KMP，可以求出每个前缀原始的 $nxt$。这里又有两种方法。

  1. 失配树找最高级祖先。

  2. 类似并查集路径压缩。因为如果当前位置的 $nxt$ 不是这个位置最小的 $nxt$，那么任何时刻都不会用到这个位置的 $nxt$。于是每到一个新位置，直接暴力把当前位置的 $nxt$ 一直递归到最小即可。

• 寻找 $t$ 的最长前缀是 $s$ 的子串。

  SAM 直接冲

  我们可以用 KMP 这个优雅的算法。令 $t$ 作为模式串，$s$ 作为母串。

  观察得知，KMP 当匹配到母串的第 $i$ 个位置时，实际上已经算出了 $t$ 作为 $s[1\sim i]$ 的后缀的最大前缀 $rho[i]$。

  答案就是 $max\{rho[i]\}$.

• 求 $s$ 每个前缀的出现次数。

  SAM 直接冲

  1. KMP 方法。先对 $s$ 做一遍 KMP。对于前缀 $s[1\sim i]$，只要看 $nxt[i+1\sim n]$ 里有多少个 $nxt=i$ 即可。不要忘了加上自己开头出现了一次。

  2. Z 函数方法。先求出 $Z$ 函数。对于前缀 $s[1\sim i]$，只要看 $z[2\sim n]$ 里有多少个 $z\ge i$ 即可。不要忘了加上自己开头出现了一次。

• Extend to Palindrome

  简化题意：求最长回文后缀。

  令 $t=rev(s)+\text{\#}+s$。对 $t$ 求 $Z$ 函数，然后枚举每个后缀判断即可。

• 求本质不同子串数。

  SAM 直接冲

  考虑增量算法：已经处理了字符串 $s$，在前面加一个字符 $c$，考虑以 $c$ 开头的子串们。利用 $nxt[]/z[]$ 去重。

  不过因为每新加入一个字符就要重新求一遍，复杂度 $O(n^2)$。

• Pal-Palindrome

  结论：两个回文串 $a,b$。$ab\in Pal⟺root(a)=root(b)$。

  那么弄一个类似桶的东西即可。