P1891 疯狂 LCM

合集 - 一些数学的笔记(23)

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21.P1891 疯狂 LCM2024-07-07

22.FMT 与 FWT2024-12-1923.集合幂级数与子集卷积2024-12-19

收起

求 $\sum _{i=1}^{n}lcm(i,n)$，$T\le 3\times {10}^5$，$n\le {10}^6$。

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{n}lcm(i,n)& =n\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{i}{(i,n)}}\\ & =n\sum _{d|n}\sum _{i=1}^n[(i,n)=d]\cdot {\displaystyle \frac{i}{d}}\\ & =n\sum _{d|n}\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}i\cdot [(i,\frac{n}{d})=1]\\ & =n\sum _{d|n}\sum _{i=1}^{d}i\cdot [(i,d)=1]\\ & =n\sum _{d|n}\text{1 到 d 中与 d 互质的数的和}\end{array}$$

观察发现若 $(a,n)=1$，则 $(a-n,n)=1$，可以发现互质的数总是成对出现，且和为 $n$。因此当 $d\ne 1$，$\sum _{i=1}^{d}i\cdot [(i,d)=1]=\phi (d)\cdot d\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}$。（$d=1$ 特殊处理）