LP-duality 定理
LP-duality 定理:线性规划问题的对偶定理。
【线性规划问题的标准形式】
给定矩阵
问题 1: 求向量(一组数)
且
问题 2: 求向量(一组数)
【定理内容】
用于将线性规划问题转化为对偶问题,然后用算法解决。
这两个问题是 "对偶" 的,根据定理,它们满足这两个性质:
弱对偶性:记问题 1 的任一组可行解
强对偶性:如果问题 1,2 都是有解的,则 1 的最优解(最大值)和 2 的最优解(最小值)相等。
【一些观察】
线性规划问题其实可以看做给出一大堆不等式,求条件极值。
观察发现,LP 定理的问题 2 的变量个数(
【定理应用其一:最大流最小割定理】
网络流问题就是天生的一类线性规划问题。
这里将用 LP-duality 定理粗略证明 MF=MC 定理。拿个例子。
先把最大流问题改造成线性规划模式。
第一条不等式就是每条边不能流超过容量的,后两条等式满足
目标是
虽然是等式,但其实我们可以把它拆成两个不等式。
这就是一个标准的线性规划问题的形式。为什么?改成矩阵形式看看。
通过 LP 定理,我们等价于求:
那这是什么呢?
而我们的
观察发现
然后我们会用到几个引理:
引理 1:
如果不在
引理 1.5:给定数组
将
引理 2:
如果方程里的
因为对于每种大小顺序,都能归约到 引理 1.5;而只要是 引理 1.5,就必然有
引理 3:不等式只有三种类型,
其实就是在考虑
而
众所周知,一条边恰好从一个点出,向一个点入。所以在
下面根据引理 2,3 来证明求
因为
将
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