CF708D Incorrect Flow

传送门

巧妙建模题。

题意：给定一张网络和一个流，但流不一定正确。可以花费 \(1\) 的代价，使某条边容量 \(\pm 1\)，或者使某条边流量 \(\pm 1\)。问最小代价使流正确。

题面非常漂亮。而且网络流的问题也是用网络流解。

考虑一条边，初始容量 \(c\)，初始流量 \(f\)。设它最终流量 \(f'\)。

注意到如果 \(f'\in [0,c]\)，只需要更改 \(f\)，代价 \(1\)；如果 \(f'>c\)，相当于要连带着 \(c\) 一起增加，代价 \(2\)。

把 \(f\le c\) 和 \(f>c\) 的边分开考虑。

1. \(f\le c\) 的边。记两端是 \(u\rightarrow v\)。

   如果 \(f'\) 减小了，相当于退流，于是连边 \((v,u,f,1)\)。

   如果 \(f\le f'\le c\)，相当于在合法范围内增大流，于是连边 \((u,v,c-f,1)\)。

   如果 \(f'>c\)，\(f,c\) 就要一起增加，于是连边 \((u,v,+\infty,2)\)。

2. \(f>c\) 的边。记两端是 \(u\rightarrow v\)。

   因为要保证最终流量 \(\le\) 容量，一开始直接让 \(f'\) 退掉 \(f-c\) 的流量。将 \(f-c\) 累加进答案里。

   如果 \(c<f'\le f\)，相当于一开始不让 \(f\) 减小到 \(c\)，而是减小到最终的 \(f'\)；而是让 \(c\) 增加。一来一去费用就抵消了，于是连边 \((v,u,f-c,0)\)。

   如果 \(f'\le c\)，就是一开始减小后继续减小。于是连边 \((v,u,c,1)\)。

   如果 \(f'>f\)，连边 \((u,v,+\infty,2)\)。

最小费用可行流。