CF708D Incorrect Flow

传送门

巧妙建模题。

题意：给定一张网络和一个流，但流不一定正确。可以花费 $1$ 的代价，使某条边容量 $\pm 1$，或者使某条边流量 $\pm 1$。问最小代价使流正确。

题面非常漂亮。而且网络流的问题也是用网络流解。

考虑一条边，初始容量 $c$，初始流量 $f$。设它最终流量 $f^{\prime }$。

注意到如果 $f^{\prime }\in [0,c]$，只需要更改 $f$，代价 $1$；如果 $f^{\prime }>c$，相当于要连带着 $c$ 一起增加，代价 $2$。

把 $f\le c$ 和 $f>c$ 的边分开考虑。

1. $f\le c$ 的边。记两端是 $u\to v$。

   如果 $f^{\prime }$ 减小了，相当于退流，于是连边 $(v,u,f,1)$。

   如果 $f\le f^{\prime }\le c$，相当于在合法范围内增大流，于是连边 $(u,v,c-f,1)$。

   如果 $f^{\prime }>c$，$f,c$ 就要一起增加，于是连边 $(u,v,+\mathrm{\infty },2)$。

2. $f>c$ 的边。记两端是 $u\to v$。

   因为要保证最终流量 $\le$ 容量，一开始直接让 $f^{\prime }$ 退掉 $f-c$ 的流量。将 $f-c$ 累加进答案里。

   如果 $c<f^{\prime }\le f$，相当于一开始不让 $f$ 减小到 $c$，而是减小到最终的 $f^{\prime }$；而是让 $c$ 增加。一来一去费用就抵消了，于是连边 $(v,u,f-c,0)$。

   如果 $f^{\prime }\le c$，就是一开始减小后继续减小。于是连边 $(v,u,c,1)$。

   如果 $f^{\prime }>f$，连边 $(u,v,+\mathrm{\infty },2)$。

最小费用可行流。