普通多项式、连续点值、下降幂多项式的关系

【连续点值与下降幂多项式】

复杂度 \(O(n\log n)\) 可将两者转化。

【系数转点值】

已知 \(f(x)=\sum_{i=0}^{n}b_ix^{\underline{i}}\)，求 \(f(c),f(c+1),\dots,f(c+n)\)。

首先因为多项式平移 \(O(n\log n)\)，所以等价于求 \(f(0\sim n)\)。设 \(y_i=f(i)\)。

\[y_k=f(k)=\sum_{i=0}^{n}b_ik^{\underline{i}} \]

观察 \(k^{\underline{i}}\)，发现当 \(i>k\) 时等于 \(0\)。

\[y_k=\sum_{i=0}^{k}b_i\dfrac{k!}{(k-i)!} \]

\[\dfrac{y_k}{k!}=\sum_{i+j=k}b_i\cdot \dfrac{1}{j!} \]

一次卷积即可。

【点值转系数】

已知 \(f(0)\sim f(n)\)，求 \(f(x)\) 的下降幂表示。

令 \(\hat{y}(x)\) 为 \(y_0\sim y_n\) 的 EGF，\(b(x)\) 为 \(b_0\sim b_n\) 的 OGF。注意 \(\sum_{i=0}\dfrac{1}{i!}x^i=e^x\)（即 \(e^x\) 是 \(\dfrac{1}{i!}\) 的 OGF）。

由上面 \(\dfrac{y_k}{k!}=\sum_{i+j=k}b_i\cdot\dfrac{1}{j!}\) 可知 \(\hat{y}(x)=b(x)\cdot e^x{\pmod {x^{n+1}}}\)。

则 \(b(x)=\hat{y}(x)\cdot e^{-x}\)，一次卷积即可。

（\(e^{-x}=\displaystyle\sum_{i=0}(-1)^i\cdot \dfrac{1}{i!}x^i\)）

【普通多项式、连续点值、下降幂多项式的转化】

普通多项式 \(O(n\log^2n)\) 多点求值/快速插值可与连续点值 \(y_0\sim y_n\) 转化。

连续点值 \(O(n\log n)\) 可与下降幂多项式转化。