普通多项式、连续点值、下降幂多项式的关系

合集 - 一些数学的笔记(23)

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20.普通多项式、连续点值、下降幂多项式的关系2024-05-26

21.P1891 疯狂 LCM2024-07-0722.FMT 与 FWT2024-12-1923.集合幂级数与子集卷积2024-12-19

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【连续点值与下降幂多项式】

复杂度 $O(n\log n)$ 可将两者转化。

【系数转点值】

已知 $f(x)=\sum _{i=0}^n{b}_i{x}^{\underset{―}{i}}$，求 $f(c),f(c+1),\dots ,f(c+n)$。

首先因为多项式平移 $O(n\log n)$，所以等价于求 $f(0\sim n)$。设 $y_i=f(i)$。

$$y_k=f(k)=\sum _{i=0}^n{b}_i{k}^{\underset{―}{i}}$$

观察 $k^{\underset{―}{i}}$，发现当 $i>k$ 时等于 $0$。

$$y_k=\sum _{i=0}^k{b}_i{\displaystyle \frac{k!}{(k-i)!}}$$

$${\displaystyle \frac{y_k}{k!}}=\sum _{i+j=k}{b}_i\cdot {\displaystyle \frac{1}{j!}}$$

一次卷积即可。

【点值转系数】

已知 $f(0)\sim f(n)$，求 $f(x)$ 的下降幂表示。

令 $\hat{y}(x)$ 为 $y_0\sim y_n$ 的 EGF，$b(x)$ 为 $b_0\sim b_n$ 的 OGF。注意 $\sum _{i=0}{\displaystyle \frac{1}{i!}}{x}^i=e^x$（即 $e^x$ 是 ${\displaystyle \frac{1}{i!}}$ 的 OGF）。

由上面 ${\displaystyle \frac{y_k}{k!}}=\sum _{i+j=k}{b}_i\cdot {\displaystyle \frac{1}{j!}}$ 可知 $\hat{y}(x)=b(x)\cdot e^x(\mathrm{mod}{x}^{n+1})$。

则 $b(x)=\hat{y}(x)\cdot e^{-x}$，一次卷积即可。

（$e^{-x}={\displaystyle \sum _{i=0}(-1{)}^i\cdot {\displaystyle \frac{1}{i!}}{x}^i}$）

【普通多项式、连续点值、下降幂多项式的转化】

普通多项式 $O(n{\log }^{2}n)$ 多点求值/快速插值可与连续点值 $y_0\sim y_n$ 转化。

连续点值 $O(n\log n)$ 可与下降幂多项式转化。