FFT 优化常系数齐次线性递推式

合集 - 一些数学的笔记(23)

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18.FFT 优化常系数齐次线性递推式2024-05-12

19.普通/下降幂多项式平移2024-05-2620.普通多项式、连续点值、下降幂多项式的关系2024-05-2621.P1891 疯狂 LCM2024-07-0722.FMT 与 FWT2024-12-1923.集合幂级数与子集卷积2024-12-19

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$f_i$ 序列满足 $f_i={\displaystyle \sum _{j=1}^k{c}_j{f}_{i-j}}$。$k\le 32000,n\le {10}^9$。
已知 $f_1\sim f_k$ 和 $c_1\sim c_k$。求 $f_n$。

这称为 "$k$ 次齐次常系数线性递推式"。

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如果 $k$ 比较小，可以用矩阵快速幂；但 $k$ 太大，一次矩阵乘法都很慢。我们可以用 FFT 优化它。复杂度 $O(k\log k\log n)$。

先回忆一下矩阵快速幂。

$$\left[\begin{array}{c}{f}_n\\ f_{n-1}\\ \dots \\ f_{n-k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& \cdots & c_k\\ 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & 1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{f}_{n-1}\\ f_{n-2}\\ \dots \\ f_{n-k}\end{array}\right]$$

特征多项式：一个矩阵 $M$ 的特征多项式 $\lambda$ 满足 $det(\lambda I-M)=0$。（$det(\lambda I-M)$ 是一个关于 $\lambda$ 的多项式）

记中间的转移矩阵为 $M$。它的特征多项式为 $\varphi (M)={\lambda }^k-c_1{\lambda }^{k-1}-c_2{\lambda }^{k-2}-\cdots -c_k$。

克雷-哈密尔顿（Cayley-Hamiltion）定理：$\varphi (M)=0$。

设 $x^n=p(x)\times \varphi (x)+r(x)$（带余除法）。$\mathrm{deg}r(x)\le k-1=\mathrm{deg}\varphi (x)$。
假设 $r(x)$ 求出来了。令 $x$ 为矩阵 $M$，$M^n=p(M)\cdot \varphi (M)+r(M)$；由定理，$\varphi (M)=0$。所以 $M^n=r(M)=\sum r_i{M}^i$。

设

$$F_i=\left[\begin{array}{c}{f}_i\\ ⋮\\ f_{i-k+1}\end{array}\right]$$

则 $F_{n+k-1}={\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}{r}_i{M}^i{F}_{k-1}=\sum _{i=0}^{k-1}{r}_i\cdot F_{i+k-1}}$

$\therefore f_n={\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}{r}_i{f}_i}$，$O(k)$ 可求。

最后一个问题：$r(x)$ 怎么算？

如果用带余除法算，$O(n\log n)$；而 $n\le 1e9$ 会爆炸。

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$x^{a+b}\mathrm{\%}\varphi (x)=x^a\cdot x^b\mathrm{\%}\varphi (x)=((x^a\mathrm{\%}\varphi (x))\cdot (x^b\mathrm{\%}\varphi (x))\mathrm{\%}\varphi (x)$

而 $x^a\mathrm{\%}\varphi (x)$ 和 $x^b\mathrm{\%}\varphi (x)$ 都是 $k$ 次，因此如果求得 $x^a\mathrm{\%}\varphi (x)$ 和 $x^b\mathrm{\%}\varphi (x)$，就能 $O(k\log k)$ 求带余除法。

那么让 $x^a\mathrm{\%}\varphi (x)$ 继续递归即可。递归 $O(\log n)$ 层。

复杂度 $O(\log n\cdot k\log k)$。