最小割的结论

合集 - 一些图论的笔记(15)

1.Hall's 定理和 Konig 定理2024-03-102.Gym-101915D 题解2024-03-103.POJ3057 Evacuation 题解2024-03-184.Gym 101981-I Magic Potion 题解2024-03-185.SGU171 Sarov zones 题解2024-03-186.CF1139E Maximize Mex2024-03-197.二分图带权最大匹配 - KM 算法2024-03-248.CF1198E Rectangle Painting2024-04-159.Menger 定理2024-04-2510.CF628F Bear and Fair Set2024-05-0111.CF981F Round Marriage2024-05-0112.CF1054F Electric Scheme2024-05-02

13.最小割的结论2024-05-04

14.CF717G Underfail2024-06-1215.LP-duality 定理2024-06-23

收起

记 $f$ 为任意最大流，令 $G_f$ 为 $f$ 的残量网络。记 $G_f$ 中 $s$ 可达的点集合为 $S$，$t$ 可达的点集合为 $T$。

1. 判断一个图的最小割是否唯一。最小割唯一 $⟺$ $S\cup T=V$。

2. 若 $(u,u^C)$ 是最小割，则 $G_f$ 中没有 $u\to u^C$ 的边。

   

3. 判断一条边 $(x,y)$ 与最小割的关系。

   • 若 $(x,y)$ 在 $f$ 中不满流，一定不在任意最小割。不然回溯上去割，更好。（但不是判断的唯一标准）下面假定满流。

   • 若 $x\in S,y\in T$，$(x,y)$ 在所有最小割中。

   • 若 $(x,y)$ 在某最小割中，等价于 $G_f$ 中 $x$ 不可达 $y$ 且 $x\notin T$ 且 $y\notin S$。

     再简化一下，等价于 $G_f$ 中 $x,y$ 在不同的 SCC 中且 $x\notin T,y\notin S$。（因为满流）