AGC014D Black and White Trees

传送门

[AGC014D] Black and White Tree

给出一颗 \(N\) 个节点组成的树，每个节点都可以被染成白色或者黑色；

有高桥（先手）和青木（后手）两个人————高桥可以把任意一个点染成白色，青木则可以把任意一个点染成黑色，每个点只可染色一次。

重复上述操作直到所有点都被染色后，只执行一次执行以下操作：

1. 把所有青木染成黑色的节点的相邻的白点感染成“次黑色”。

2. 次黑色不能继续感染白点。

若操作完毕后仍还有白点存在，即高桥（先手）胜，反之则青木（后手）胜。
现在给出这棵树，问当前此树是先手必胜还是后手必胜。

---

先考虑在链上。容易发现，如果把左边第二个结点染白，则黑方必须把最左边的染黑，否则白方胜利。

拓展到树上，如果点 \(u\) 有两个子结点 \(a,b\) 且都是叶子，则白方必胜。

再拓展下：如果树没完美匹配，先手必胜。

根据对称性，如果有，先手必败。