AGC013E Placing Squares

传送门

给定一个长度为 $n$ 的木板，木板上有 $m$ 个标记点，距离木板左端点的距离分别为 $X_i$，现在你需要在木板上放置一些不相交正方形，正方形需要满足

• 正方形的边长为整数

• 正方形底面需要紧贴木板

• 正方形不能超出木板，正方形要将所有的木板覆盖

• 标记点的位置不能是两个正方形的交界处

一种合法的正方形放置方案的贡献为所有正方形面积的乘积，也就是为 $\prod _{i=1}^k{a}_i^2$，$a_i$ 为正方形的边长。

请你求出所有合法方案的贡献之和，答案对 ${10}^9+7$ 取模。

$n\le {10}^9$，$m\le {10}^5$。

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问题描述不好处理，我们可以这么转化问题：

有 $n$ 个格子，要在格子之间放隔板。同时要在每一个隔出来的段里的格子放一个黑球和一个白球，允许球重叠。求方案数。

（这里放黑白球的方案数对应了原问题的平方）

$d{p}_{i,j}$ 表示前 $i$ 个格子，从上一个隔板到格子 $i$ 放了 $j$ 个球的方案数。对不允许在左侧放隔板的格子和允许放隔板的分别写转移方程。

普通格子：

1. $d{p}_{i+1,0}=d{p}_{i,0}+d{p}_{i,2}$。若 $i,i+1$ 之间不放隔板，方案数 $d{p}_{i,0}$；否则方案数 $d{p}_{i,2}$；

2. $d{p}_{i+1,1}=2d{p}_{i,2}+(2d{p}_{i,0}+d{p}_{i,1})$。若 $i,i+1$ 之间放隔板，要使 $[i+1,i+1]$ 这个区间有一个球，有两种可能（黑球白球），再乘上上一段的方案数 $d{p}_{i,2}$；如果不放隔板，可能是之前没有，在 $i+1$ 放了一个，也可能是之前就有了。

3. $d{p}_{i+1,2}=d{p}_{i,2}+(d{p}_{i,0}+d{p}_{i,1}+d{p}_{i,2})$。同理分析。

禁止格子：

1. $d{p}_{i+1,0}=d{p}_{i,0}$。

2. $d{p}_{i+1,1}=2d{p}_{i,0}+d{p}_{i,1}$。

3. $d{p}_{i+1,2}=d{p}_{i,0}+d{p}_{i,1}+d{p}_{i,2}$。

用矩阵快速幂即可。