Splay 学习笔记
为了 LCT 制造了一个 Splay ……
Splay 还是一种二叉排序树。我们想让他支持查询结点，删除结点等等。但是普通 BST 复杂度难以保证，于是 Splay 出现了。
【引入】
Splay 的思想和并查集的路径压缩类似。并查集的路径压缩允许出现一两次复杂度高的操作，但是经历过一次后就不会再有第二次了。
Splay 的基本思想就是在操作一个结点时，直接把这个结点放到根结点上。
【单旋与双旋】
区分三种操作：单旋、双旋、把某个结点转到根。
回想以前的数据结构，在操作一个结点时需要改变结点的位置的，旋转 Treap 的旋转操作非常具有特点。
单旋：zig（右旋） 和 zag（左旋）。
Splay 的特殊之处就在于，我们发明了一种 "双旋" 操作，一次操作可以让一个结点和他的祖父交换位置，且不改变二叉排序树的性质。
双旋的理念也很简单：要上升两层，那就做两次单旋。两次单旋共 \(2\times 2=4\) 种方案，衍生出 \(4\) 种双旋。
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zig-zig，即两次都是右旋操作。
左侧的 \(x\) 是我们要转到根结点的结点，但是在这一次双旋里面，我们只考虑让他转到他的祖父结点 \(g\) 处。\(p\) 是 \(x\) 的父亲。
右侧上下是两种旋转的方式：一种是转两次 \(x\)，一种是先转 \(p\) 再转 \(x\)。Splay 在进行这种双旋时我们采取下面那种，具体原因后面会说。
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zag-zag，先转 \(p\) 后转 \(x\)。
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zag-zig，转两次 \(x\)。
其实这种情况只能先转 \(x\)，如右侧，如果先对 \(p\) zag，\(x\) 无法上升。
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zig-zag，转两次 \(x\)。
zag-zig 和 zig-zag 是只能转两次 \(x\) 的，没有疑问；但是 zig-zig 和 zag-zag 为什么要先转 \(p\)？这涉及到复杂度分析。
【复杂度分析】
【概念】
算 Splay 的复杂度首先要认识到什么是 "分摊复杂度"：单次操作可能很慢，多次操作平均很快。
其次是 "势能"：这是一个物理的概念。
当一个物体在一个高度，那当这个物体下落的时候，位置本身就会赋予物体下落的能量，我们称其为重力势能。高度越高，重力势能越大。
这个概念有什么特殊之处？当一个物体从位置 \(A\) 到了位置 \(B\)，中间可能有各种乱七八糟的移动，但其重力势能的变化量，只有位置 \(B\) 与位置 \(A\) 的高度差产生的重力势能。
那这和复杂度分析有什么关系？
【势能分析法】
我们为了证明，人为定义一个起始势能 \(S\) 和结束势能 \(T\)。
不妨每次操作是 \(t_1,t_2,\dots,t_m\)。
总时间 \(=t_1+t_2+\cdots+t_m=\sum t_i+(T-S)-(T-S)\)。
我们希望 \(T-S\) 是个不太大的数，同时希望可以把 \(T-S\) 拆成 \(k_1+k_2+\cdots+k_m\)，而且 \(t_i+k_i\le\) 单次操作复杂度上限 \(x\)。
如果我们真的设计出一个这样的势能函数，\(\sum t_i+(T-S)-(T-S)=-(T-S)+\sum (t_i+k_i)\le -(T-S)+m\cdot x\)。
（对较大的 \(t_i\) 放一个较小的 \(k_i\)，对较小的 \(t_i\) 放一个较大的 \(k_i\)，多退少补，总和是 \(T-S\)）
目标是让 \(T-S\) 在 \(O(n\log n)\) 级别，让 \(x\) 在 \(O(\log n)\) 级别。这样总时间就是 \(O(n\log n+m\log n)\)。均摊每一次是 \(O(\frac{n}{m}\cdot \log n+\log n)\)，一般就能直接视作 \(O(\log n)\) 的了。
令 \(s_i\) 为 \(i\) 子树规模，\(p_i=\log s_i\) 为 \(i\) 的势能。
\(S=\displaystyle\sum_{初始} p_i,T=\sum_{最终}p_i\)。
这里指的是 Splay 这颗 BST 在经历操作前和经历操作后。
一个结点的 \(s_i\) 显然 \(\le n\)，所以 \(S,T\) 显然都 \(\le n\log n\)，则 \(-(T-S)\le n\log n\)。接下来的任务就是把 \((T-S)\) 拆成 \(m\) 个 \(k_i\)。
我们认为一次单旋操作是 "\(1\) 次" 操作。
结论：让 \(x\) 转上祖父的双旋操作次数 $\le $
