Splay 学习笔记

为了 LCT 制造了一个 Splay ……

Splay 还是一种二叉排序树。我们想让他支持查询结点，删除结点等等。但是普通 BST 复杂度难以保证，于是 Splay 出现了。

【引入】

Splay 的思想和并查集的路径压缩类似。并查集的路径压缩允许出现一两次复杂度高的操作，但是经历过一次后就不会再有第二次了。

Splay 的基本思想就是在操作一个结点时，直接把这个结点放到根结点上。

【单旋与双旋】

区分三种操作：单旋、双旋、把某个结点转到根。

回想以前的数据结构，在操作一个结点时需要改变结点的位置的，旋转 Treap 的旋转操作非常具有特点。

单旋：zig（右旋） 和 zag（左旋）。

Splay 的特殊之处就在于，我们发明了一种 "双旋" 操作，一次操作可以让一个结点和他的祖父交换位置，且不改变二叉排序树的性质。

双旋的理念也很简单：要上升两层，那就做两次单旋。两次单旋共 $2\times 2=4$ 种方案，衍生出 $4$ 种双旋。

1. zig-zig，即两次都是右旋操作。

   

   左侧的 $x$ 是我们要转到根结点的结点，但是在这一次双旋里面，我们只考虑让他转到他的祖父结点 $g$ 处。$p$ 是 $x$ 的父亲。

   右侧上下是两种旋转的方式：一种是转两次 $x$，一种是先转 $p$ 再转 $x$。Splay 在进行这种双旋时我们采取下面那种，具体原因后面会说。

2. zag-zag，先转 $p$ 后转 $x$。

3. zag-zig，转两次 $x$。

   

   其实这种情况只能先转 $x$，如右侧，如果先对 $p$ zag，$x$ 无法上升。

4. zig-zag，转两次 $x$。

zag-zig 和 zig-zag 是只能转两次 $x$ 的，没有疑问；但是 zig-zig 和 zag-zag 为什么要先转 $p$？这涉及到复杂度分析。

【复杂度分析】

【概念】

算 Splay 的复杂度首先要认识到什么是 "分摊复杂度"：单次操作可能很慢，多次操作平均很快。

其次是 "势能"：这是一个物理的概念。

当一个物体在一个高度，那当这个物体下落的时候，位置本身就会赋予物体下落的能量，我们称其为重力势能。高度越高，重力势能越大。

这个概念有什么特殊之处？当一个物体从位置 $A$ 到了位置 $B$，中间可能有各种乱七八糟的移动，但其重力势能的变化量，只有位置 $B$ 与位置 $A$ 的高度差产生的重力势能。

那这和复杂度分析有什么关系？

【势能分析法】

我们为了证明，人为定义一个起始势能 $S$ 和结束势能 $T$。

不妨每次操作是 $t_1,t_2,\dots ,t_m$。

总时间 $=t_1+t_2+\cdots +t_m=\sum t_i+(T-S)-(T-S)$。

我们希望 $T-S$ 是个不太大的数，同时希望可以把 $T-S$ 拆成 $k_1+k_2+\cdots +k_m$，而且 $t_i+k_i\le$ 单次操作复杂度上限 $x$。

如果我们真的设计出一个这样的势能函数，$\sum t_i+(T-S)-(T-S)=-(T-S)+\sum (t_i+k_i)\le -(T-S)+m\cdot x$。

（对较大的 $t_i$ 放一个较小的 $k_i$，对较小的 $t_i$ 放一个较大的 $k_i$，多退少补，总和是 $T-S$）

目标是让 $T-S$ 在 $O(n\log n)$ 级别，让 $x$ 在 $O(\log n)$ 级别。这样总时间就是 $O(n\log n+m\log n)$。均摊每一次是 $O(\frac{n}{m}\cdot \log n+\log n)$，一般就能直接视作 $O(\log n)$ 的了。

---

令 $s_i$ 为 $i$ 子树规模，$p_i=\log s_i$ 为 $i$ 的势能。

$S={\displaystyle \sum _{\mathrm{初}\mathrm{始}}{p}_i,T=\sum _{\mathrm{最}\mathrm{终}}{p}_i}$。

这里指的是 Splay 这颗 BST 在经历操作前和经历操作后。

一个结点的 $s_i$ 显然 $\le n$，所以 $S,T$ 显然都 $\le n\log n$，则 $-(T-S)\le n\log n$。接下来的任务就是把 $(T-S)$ 拆成 $m$ 个 $k_i$。

我们认为一次单旋操作是 "$1$ 次" 操作。

结论：让 $x$ 转上祖父的双旋操作次数 $\le$