ARC080F Prime Flip 题解

传送门

题意：给定初始 $a$ 数组，每次可以选一个长度为奇质数的区间取反。问全变成 $0$ 要多少次操作。

和 Password、Xor Replace 的套路相同，做一个差分。

令 $b_i=a_i⨁a_{i-1}$，目的就是让 $b$ 数组变为全 $0$。对 $a_i\sim a_{i+p-1}$ 取反相当于对 $b_i,b_{i+p}$ 取反。显然 $b$ 中有偶数个 $1$。

一次操作可以让 $b_i,b_j$ 取反，要求 $j-i$ 是奇质数。

最终的操作可以看作把 $b$ 中所有 $1$ 两两匹配，然后每一对 $1$ 消耗若干次操作变成 $0$。

考虑两个位置 $i,j$ 需要多少次操作才能一起变 $0$。

1. $j-i$ 为奇质数。显然一次即可。

2. $j-i$ 为大于 $4$ 的偶数。根据哥德巴赫猜想：大于 $4$ 的偶数可以分成两个奇质数之和。 所以两次即可。一次显然不够，因为加一个奇质数后奇偶性不对。

3. $j-i$ 为奇合数，$3$ 次操作。一次操作变回 $2$ 的情况。

4. $j-i=2$ 或 $j-i=4$。对于 $j-i=2$，因为 $2=5-3$，两次；$j-i=4$，因为 $4=7-3$，两次。不如把该情况和情况 $2$ 合并。

要操作次数最少，显然尽量选择情况 $1$（$1$ 也不会干扰到情况 $2,3$）。

于是把 $b$ 中所有 $1$ 的位置找出来，分成奇数偶数的二分图。如果两个位置差为奇质数，连边。

先求个最大匹配，就是情况 $1$ 的个数。然后让奇数偶数各自内部尽量匹配，对应情况 $2$。最后让剩下的奇数偶数之间匹配，对应情况 $3$。