ABC221H Count Multiset

传送门

构造序列型 DP。经典的就是这么一种构造序列的方式：

用两种操作。

1. 增加一个 $0$。

2. 将当前序列中所有数加 $1$。

由此可以构造出任意一种自然数不降序列。

回到本题。即要求构造一个长度 $k$ 和为 $n$ 且没有一种数出现超过 $m$ 次的不降序列，求方案数。考虑用上面提到的方法构造。

令 $dp[i][j]$ 表示当前序列中有 $i$ 个数，和为 $j$ 的方案数。

但我们还要限制 $0$ 的出现次数，用额外数组 $f[i][j]$ 表示有 $i$ 个数，和为 $j$ 且不含有 $0$ 的方案数。

$$dp[i][j]=dp[i][j-i]+\sum _{x=1}^{m}f[i-x][j]$$

$$f[i][j]=dp[i][j-i]$$