P4859 已经没有什么好害怕的了

传送门

题意：给定两个长度 $n$ 的互不相同的序列 $a,b$。要求将它们两两匹配。求有多少种匹配方案恰好有 $(n+k)/2$ 对 $a_i>b_j$。$n\le 2000$。如果 $(n+k)mod2=1$ 输出 $0$。

先将 $a,b$ 从小到大排序。$d{p}_{i,j}$ 表示让 $a_{1\sim i}$ 匹配 $b_{1\sim n}$，至少有 $j$ 对 $a_x>b_y$ 的方案数。

记 $r_i$ 表示：$b_{1\sim r_i}<a_i$，$b_{r_i+1}>a_i$。

则 $dp[i][0]=dp[i-1][0],dp[i][j]=dp[i-1][j]+(r_i-j+1)dp[i-1][j-1]$。可以 $O(n^2)$ DP。

则至少有 $i$ 对 $a_x>b_y$ 的方案数是 $f_i=d{p}_{n,i}\times (n-i)!$。

然后怎么求恰好？

二项式反演：至少转恰好。

$$g(n)=\sum _{i=1}^n{C}_n^i\cdot f(i)⟺f(n)\sum _{i=1}^n(-1{)}^{n-i}{C}_n^i\cdot g(i)$$

则 $ans={\displaystyle \sum _{i=k}^n(-1{)}^{i-k}{C}_i^k\cdot f_i}$。