线段树可持久化

【可持久化】

可持久化可以应用于查询历史版本的问题，关键在于给每个版本之间共用顶点，减小空间代价。

所以可持久化永远不会修改结点，只会新建结点。

可持久化不止应用于 "历史版本" 问题，有时题目并没有给出什么历史版本的描述，但是不同的线段树之间变化很小，也可以可持久化。

【模板】可持久化线段树 2

先对 $a$ 离散化。

查询第 k 最值的类似问题是一个经典的给权值线段树的场景。

用权值线段树查询一次第 $k$ 小是非常简单的：看左儿子内数的个数，决定进入左右儿子，直到叶子。

如果我们给每个前缀都建立一颗权值线段树，可以通过做差得到一个区间内的数的个数，自然也就能找到第 $k$ 小。

但是如果真的建 $n$ 棵线段树，空间肯定爆。

观察每个前缀，都只比前一个前缀多一个数，对应到权值线段树上就是多一次修改，变化很小，可以可持久化。

KUR - Couries

也是权值线段树。如果结点维护区间出现次数最大值，发现不好通过两颗线段树查询。其实可以只维护区间内出现总次数。

老 C 的任务

把点按照 $x$ 排序，建立前缀线段树。

永无乡

自然的想法是并查集。然后我们想给每个连通块维护一颗权值线段树。在两个连通块合并的时候，用启发式合并，将小的那边的权值一个一个插入大的权值线段树。

用可持久化即可。

Count on a tree

对每个结点到根的路径建立权值线段树。每次查询涉及四颗线段树：$u,v,lca,fa[lca]$。