P1484 种树 题解

P1484 种树

有 $n$ 个坑。第 $i$ 个坑种树的价值是 $c_i$，相邻坑不能同时种。可以种 $k$ 颗树，求最大价值。

模拟费用流，建图类似这样：

中间两层结点之间有 $7$ 条边，表示 $n=7$ 的情况。相邻两条边，例如 $1,2$ 总流入量为 $1$，$2,3$ 总流出量为 $1$，也不可能出现相邻两条边同时流的情况，对应相邻两个坑不能同时种树。

在上面的图里找增广路的时候，我们发现增广路上每条边的流量有特征：源点流出和汇点流入的边流量都是 $0$，其余边 $0,1$ 不断交替且 $0$ 开头 $0$ 结尾：例如 0 1 0 1 0 就是一种可能的情况。

对应到原问题里，初始每个坑位都是 $0$。种了树就会变 $1$。一个区间如果开头结尾为 $0$、$0,1$ 交替且区间左边一个和右边一个都是 $0$，这就对应一个增广路。

可见一开始每个坑位都对应一个区间，也对应一个增广路。

而更新一条增广路，会使路径上的 $0$ 变 $1$，$1$ 变 $0$；对应到原问题里就是区间内 $0$ 变 $1$，$1$ 变 $0$。

发现将区间翻转后，因为规定了一个区间左边一个右边一个为 $0$，且开头结尾为 $0$，所以反转后刚好和左右拼成一个更大的区间。

那我们可以用链表来维护这些区间。同时搞一个堆，这个堆用来每次找最大价值的区间。一个区间的价值定义为其中 $1$ 的价值减去 $0$ 的价值。

每次挑出一个价值最大的且未被标记为不可选的区间 $d$，统计其价值，同时通过链表找到它相邻的两个区间 $d_1,d_2$，将 $d,d_1,d_2$ 合并为一个大区间，价值为 $v_{d_1}+v_{d_2}-v_d$，然后把原本的 $d_1,d_2$ 标记为不可选。

一直挑，挑到够了 $k$ 个就结束。