P1484 种树 题解
P1484 种树
有 \(n\) 个坑。第 \(i\) 个坑种树的价值是 \(c_i\),相邻坑不能同时种。可以种 \(k\) 颗树,求最大价值。
模拟费用流,建图类似这样:
中间两层结点之间有 \(7\) 条边,表示 \(n=7\) 的情况。相邻两条边,例如 \(1,2\) 总流入量为 \(1\),\(2,3\) 总流出量为 \(1\),也不可能出现相邻两条边同时流的情况,对应相邻两个坑不能同时种树。
在上面的图里找增广路的时候,我们发现增广路上每条边的流量有特征:源点流出和汇点流入的边流量都是 \(0\),其余边 \(0,1\) 不断交替且 \(0\) 开头 \(0\) 结尾:例如 0 1 0 1 0
就是一种可能的情况。
对应到原问题里,初始每个坑位都是 \(0\)。种了树就会变 \(1\)。一个区间如果开头结尾为 \(0\)、\(0,1\) 交替且区间左边一个和右边一个都是 \(0\),这就对应一个增广路。
可见一开始每个坑位都对应一个区间,也对应一个增广路。
而更新一条增广路,会使路径上的 \(0\) 变 \(1\),\(1\) 变 \(0\);对应到原问题里就是区间内 \(0\) 变 \(1\),\(1\) 变 \(0\)。
发现将区间翻转后,因为规定了一个区间左边一个右边一个为 \(0\),且开头结尾为 \(0\),所以反转后刚好和左右拼成一个更大的区间。
那我们可以用链表来维护这些区间。同时搞一个堆,这个堆用来每次找最大价值的区间。一个区间的价值定义为其中 \(1\) 的价值减去 \(0\) 的价值。
每次挑出一个价值最大的且未被标记为不可选的区间 \(d\),统计其价值,同时通过链表找到它相邻的两个区间 \(d_1,d_2\),将 \(d,d_1,d_2\) 合并为一个大区间,价值为 \(v_{d_1}+v_{d_2}-v_d\),然后把原本的 \(d_1,d_2\) 标记为不可选。
一直挑,挑到够了 \(k\) 个就结束。