二分图带权最大匹配 - KM 算法

合集 - 一些图论的笔记(15)

1.Hall's 定理和 Konig 定理2024-03-10 2.Gym-101915D 题解2024-03-10 3.POJ3057 Evacuation 题解2024-03-18 4.Gym 101981-I Magic Potion 题解2024-03-18 5.SGU171 Sarov zones 题解2024-03-18 6.CF1139E Maximize Mex2024-03-19

7.二分图带权最大匹配 - KM 算法2024-03-24

8.CF1198E Rectangle Painting2024-04-15 9.Menger 定理2024-04-25 10.CF628F Bear and Fair Set2024-05-01 11.CF981F Round Marriage2024-05-01 12.CF1054F Electric Scheme2024-05-02 13.最小割的结论2024-05-04 14.CF717G Underfail2024-06-12 15.LP-duality 定理2024-06-23

KM 算法用来处理最大权完美匹配。

【定义】

记 $G$ 的左部点为 $x_{i}$ ，右部点为 $y_{i}$ 。
顶标：我们给每个结点一个整数标号 $l_{i}$ 。
可行顶标：如果对于 $\forall (x_{i}, y_{i})$ ， $l_{x_{i}} + l_{y_{i}} - w_{x_{i}, y_{i}} \geq 0$ 。
相等子图：定义 $G^{'}$ 为 $G$ 的相等子图， $\forall (x_{i}, y_{i}) \in G | l_{x_{i}} + l_{y_{i}} = w_{x_{i}, y_{i}}$ 。

【过程】

引理：如果 $G^{'}$ 的最大匹配数量为 $n$ ，此时 $\sum l_{i}$ 就是最大匹配。

所以可以设计一个算法的大概流程：

随便找一个可行顶标方案 $L$ ；
求出 $G^{'}$ 和 $G^{'}$ 的最大匹配，若最大匹配数为 $n$ ，结束；
调整一些 $l_{i}$ ，使得 $G^{'}$ 变大；
重复步骤 2,3，直到退出。

关键点在于步骤 3 怎么调整。

在步骤 2 求最大匹配的时候，额外把 $G^{'}$ 划分成四个部分： $S_{x}, S_{y}$ （能被交错路径到达的）， $T_{x}, T_{y}$ （不能被交错路径到达的）

令 $a = min_{i \in S_{x}, j \in T_{y}} {l a b_{i} + l a b_{j} - w_{i, j}}$ ，然后 $l a b_{i} | i \in S_{x} - = a$ ， $l a b_{i} | i \in S_{y} + = a$ ，可以发现这么做之后， $S_{x}, T_{y}$ 之间至少一条边会加入 $G^{'}$ 。

而当 $T_{y} = \emptyset$ 时，一定能找到增广路，找到增广路则最大匹配 $+ 1$ 。最大匹配最多增加 $n$ 次。（匹配数 $\leq n$ ）所以循环最多 $O (n^{2})$ 次。求 $a$ 如果枚举 $i, j$ ，是 $O (n^{2})$ 的。整个算法复杂度是 $O (n^{4})$ 。