Gym 101981-I Magic Potion 题解

合集 - 一些图论的笔记(15)

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4.Gym 101981-I Magic Potion 题解2024-03-18

5.SGU171 Sarov zones 题解2024-03-186.CF1139E Maximize Mex2024-03-197.二分图带权最大匹配 - KM 算法2024-03-248.CF1198E Rectangle Painting2024-04-159.Menger 定理2024-04-2510.CF628F Bear and Fair Set2024-05-0111.CF981F Round Marriage2024-05-0112.CF1054F Electric Scheme2024-05-0213.最小割的结论2024-05-0414.CF717G Underfail2024-06-1215.LP-duality 定理2024-06-23

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传送门

题意：有 $n$ 个勇者和 $m$ 个怪物，第 $i$ 个勇者有一个可杀怪物集合 $M_i$，每个勇者只能杀各自 $M_i$ 中的一个怪物。
但是你有 $k$ 瓶魔药，每一瓶都可以让一个勇者多杀一个 $M_i$ 中的怪物。但是每个勇者只能吃一瓶药。问最多能杀多少个。

考虑让勇者和怪物匹配，匹配上了就表示勇者杀这个怪物。

因为吃药后的勇者可以看作一个新的勇者，所以给每个勇者抽象出一个新的点 "嗑药勇者"，每个嗑药勇者都和原来勇者能击杀的怪物一样连边。

但是这样求最大匹配，无法限制 $k$ 瓶魔药！所以给怪物也抽象出 $n-k$ 个虚拟怪物，每个虚拟怪物向每个嗑药勇者连边。

在这个图上求最大匹配为 $a$，$a-(n-k)$ 就是原来的答案。

当然这题网络流的建模非常简单：新建一个点 $M$，$S$ 向 $M$ 连容量 $k$ 的，$M$ 向每个勇者连容量 $1$ 的。